Wie löst man diese exponentielle Aufgabe?
Die Bestände zweier Ameisenkolonien können durch die Funktionen A(t)=5000-2000*e^-0,2t und B(t)=5000-3,2*(t-25)^2 erfasst werden.
a) Wann sind die Kolonien gleich groß?
b) Wann ist Kolonie A doppelt so groß wie Kolonie B?
c) Wie entwickeln sich die Kolonien langfristig? Wo liegt die Gültigkeitsgrenze von Modell B?
Bei der a) weiß ich, dass man beide Funktionen gleichsetzen muss. Wenn ich alles zusammenfasse sieht das bei mir so aus:
e^-0,2t= 1/625t^2-2/25t+1 |ln
-0,2t=-0,08
t=0,4
kann man das so machen? Hab alles was nach dem „=„ in Taschenrechner bei der ln Taste eingesetzt.
Bei der b) habe ich den Ansatz A(t)/B(t)= 2
Wenn ich hier alles kürze was man kürzen kann sieht das so aus:
e^-0,2t/ -3,2t+160t=2
Ist das bis jetzt so richtig? Wenn ja wie geht es weiter? Wenn nein was muss ich machen?
Ich schreibe morgen eine Arbeit und hänge schon länger an dieser Aufgabe hier.
2 Antworten
So geht das nicht.
ZU a). Du kannst zwar die rechte Seite in den ln eingeben, das führt aber zu keiner Lösung, denn da kommt bestimmt nicht 0,08 heraus. Du musst ja nach t auflösen und im ln-String steht jetzt plötzlich noch die Variable t. Wie will da 0,08 herauskommen?
zu b) Es muss heißen 0,5 * A(t)=B(t), nicht A(t)/B(t)=2
Es muss heißen 0,5 * A(t)=B(t), nicht A(t)/B(t)=2
Bitte?!? Beide Gleichungen sind equivalent.
Die a ist mit elementarer Mathematik nicht lösbar. Da hilft nur ein Iterationsverfahren zur Auflösung nach t. Oder aber ein grafischer TR.
Alles klar, komisch, dass das im Mathebuch steht. Können Sie mir bitte bei der b und c helfen. Muss ich bei der b jede zahl von der A- Funktionen mal 0,5 nehmen?
Es gibt 3 Stellen, an denen A und B gleich groß sind:
t = 0, t = 22.316, t = 26.727
Während die erste leicht zu finden ist, sind die beiden anderen schwierig.
A - B = 5000-2000*e^-0.2t - (5000-3.2*(t-25)^2)
= -2000 * exp(-0.2 * t) + 3.2 * (t^2 - 50*t + 625)
= -2000 * exp(-0.2 * t) + 3.2*t^2 - 160*t + 2000
Du könntest das graphisch lösen, wenn ihr einen Taschenrechner nutzen dürft, der das als Kurve zeichnet. Mit einem Newtonverfahren geht das mit einer numerischen Annäherung. Wenn ihr vorher Taylor-Reihen durchgenommen habt, lässt sich eine quadratische Gleichung mit einem Rest-Term aufstellen.
Die Lösungen sind:
t = 5*(2 * Wn(-5/(2*exp(2.5)) + 5)
t = 5*(2 * Wn(+5/(2*exp(2.5)) + 5) , n elem Z
Dafür braucht man W_k(z), die Lambert-W-Funktion.
Spätestens jetzt denke ich, dass ihr eher mit Näherungsmethoden arbeitet oder du dich bei der Aufgabenstellung vertippt hast.
Selbst nachprüfen kannst du das hier: https://www.wolframalpha.com . Hier folgenden Befehl eingeben:
solve(-2000 * exp(-0.2 * t) + 3.2*t^2 - 160*t + 2000 = 0)
Die Aufgabe b) ist nicht einfacher. Hier wird der der Wert für B verdoppelt. Numerisch erhält man t = 52.951
Die c) ist wieder einfacher. exp(-x) geht für großes x gegen 0, also geht A gegen 5000. B hat dagegen bei 64.528 einen Nullpunkt. Danach wird die Zahl der Individuen sicherlich nicht negativ.
Danke, wie kann man dann die a) berechnen?