Wie löse ich die Aufgabe - bin am verzweifeln?

Eine Kleinstadt hat im lahre 2006 mehrere Neubaugebiete eingerichtet. Man rechnet damit,

dass die Einwohnerzahl der Kleinstadt in den folgenden Jahren zunimmt. Zählungen haben erge-

ben, dass sich die Zunahme der Einwohner mit der Funktion f mit f(x)

= 1000 • x² • e^-x modellieren lässt, wobei x = 0 dem Jahr 2006 entspricht.

b) Berechnen Sie, wie sich die Einwohnerzahl der Kleinstadt von 2006 bis 2014 verändert hat.

bin wirklich am verzweifeln bei b)

ich weiß dass ich die Integralrechnung benutzen muss und das 1972 rauskommen sollte tuts bei mir aber nicht :(

also ich habe die Stammfunktion aufgeschrieben:

also ist F(x)= 1000/3*x^3*(-e^-x)

und dann bestimmte ich das Integral von 0 bis 8 also rechne F(8)-F(0) aber bei mir kommt ganze Zeit 170496 raus und das ist sicher nicht das Ergebnis :((

Was mache ich falsch?

Answer 1

[evtldocha]

also ist F(x)= 1000/3*x^3*(-e^-x)

...

Was mache ich falsch?

Bilde mal die 1. Ableitung Deiner (vermeintlichen) Stammfunktion: $F'\left(x\right)=\frac{1000}{3}\cdot\left(3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}\right)=1000\cdot\left(x^2-\frac{1}{3}x^3\right)\cdot e^{-x}$

Diese Ableitung hat nichts mit Deiner Ausgangsfunktion $f\left(x\right)=1000\cdot x^2\cdot e^{-x}$

zu tun. Dem müsste aber so sein, denn für eine Stammfunktion muss F'(x) = f(x) gelten.

Die korrekte Stammfunktion lautet (erhält man mit 2-maliger partieller Integration): $F\left(x\right)=1000\cdot\left(-x^2-2x-2\right)\cdot e^{-x}+C$

und als Ergebnis dann $\int_{_0}^8f\left(x\right)dx\ =\ F\left(8\right)-F\left(0\right)=...=1000\cdot\left(2-82e^{-8}\right)\approx\ 1972$

Answer 2

[Hamburger02]

So geht das: