Wie kommt man hier auf die Basis 4 (Logarithmen)? (rechnen, Funktion, Gleichungen)

Von Experte Wechselfreund bestätigt

Willy1729

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

rechnen, Funktion, Ableitung

10.07.2023, 18:06

Hallo,

ganz allgemein läßt sich das so erklären.

Du suchst den Logarithmus von 8 zur Basis 4, also eine Zahl a, für die gilt,
daß 4^a=8.

Blöderweise hast Du keinen Rechner, der Logarithmen zu jeder beliebigen Basis berechnen kann, sondern nur einen mit dem Logarithmus zur Basis 2 (warum auch immer ausgerechnet den und keinen anderen).

Du würdest also lb (8) <lb ist der Zweierlogarithmus> in Deinen Rechner eingeben und bekämst 3 heraus, denn 2^3=8,

Was hilft Dir das aber, wenn Du eine Zahl b suchst, für die gilt: 4^b=8?

Da Dein Rechner nur den lb kennt, drückst Du die 4 als einen Ausdruck mit lb aus.

Es gilt ja 2^(lb(4))=4, denn der lb(4) ist ja genau die Zahl, mit der man 2 potenzieren muß, um 4 zu erhalten. Daher muß 2^lb(4) nichts anderes als 4 sein.

Nun sieht die Gleichung 4^b=8 so aus:

(2^lb(4))^b=8.

Da (a^m)^n das Gleiche ist wie a^(m*n), forme ich um:

2^(b*lb(4))=8.

Auch die 8 kann ich mit Hilfe des Zweierlogarithmus ausdrücken:

2^lb(8)=8.

Nun steht da 2^(b*lb(4))=2^lb(8).

Da nun auf beiden Seiten Potenzen mit gleicher Basis stehen, nämlich mit der Basis, zu der ich zufälligerweise die Logarithmen habe, kann ich nun einfach die Exponenten gleichsetzen, denn wenn 2^m=2^n, dann muß m=n sein.

Also b*lb(4)=lb(8).

Nur noch teilen durch lb(4) ergibt b=lb(8)/lb(4). Die Zahl, mit der ich 4 potenzieren muß, um 8 zu erhalten, ist also der Quotient aus dem Zweierlogarithmus der Zielzahl und dem Zweierlogarithmus der Basis.

Anstelle des lb kannst Du nun jeden beliebigen andern Logarithmus einsetzen, es wird immer das gesuchte Ergebnis (in diesem Fall 3/2) herauskommen.

Probier's mal aus. Ich nehme immer den natürlichen Logarithmus ln, weil ich für den auf meinem Rechner eine eigene Taste habe.

Herzliche Grüße,

Willy