Wie komme ich auf diesen Ausdruck?
Wie komme ich darauf, dass
x³-x₀³= ( x-x₀ ) × ( x² + x×x₀ + x₀²) ist ?
3 Antworten
das Produkt zweier Ausdrücke (x-x₀) und (x² + x×x₀ + x₀²) gleich x³-x₀³ ist.
Um darauf zu kommen, kann man das polynomische Produkt ausrechnen:
(x-x₀)(x² + x₁x + x₀²) = x³ - x₀x² + x₁x² - x₀x + x₁x₀x - x₀²x₀ = x³ - x₀x² - x₀²x₀ + x₁x² + x₁x₀x = x³ - x₀³.
Man sieht, dass beide Ausdrücke äquivalent sind.
Diese Formel kann nützlich sein, wenn man ein Polynom dritten Grades factorisieren möchte.
Vielen Dank, für die Antwort @Retter3103bitte
Ich weiß, dass wenn ich das Produkt ausrechne, ich dann auch wieder auf den gewünschten Term komme, jedoch wollte ich fragen, ob es einen einfacheren weg gibt, diesen Ausdruck zu erkennen, denn wenn (x²-x₀²) steht, wüsste ich, dass ich die dritte binomische Formel anwenden muss. Gibt es hier auch eine Möglichkeit die andere Darstellung des Terms schnell zu erkennen ?
Um ein Polynom in Faktoren zu zerlegen, braucht man dessen Nullstellen.
f(x) = x³-x₀³ hat eine Nullstelle x = x₀ also ist ein Faktor (x-x₀). Um den abzuspalten, hilft Polynomdivision:
(x³-x0³):(x-x0) = x²+xx0+x0²
x³-x0x²
-------
x²x0-x0³
x²x0-xx0²
---------
xx0²-x0³
xx0²-x0³
--------
0
Wenn Du anfänglich nichts anderes anderes hast als den Term
x³-x₀³
dann besteht die erste intellektuelle Herausforderung darin zu erkennen, dass
( x-x₀ )
ein Linearfaktor ist. Das ist auch eine Sache der Erfahrung. Die Gewinnung des anderen Terms ist dann nicht mehr so einfach durch "Angucken" möglich. Da bleibt einem nicht die Mühe der Polynomdivision erspart.
