Wie kann man rechnerisch nachweisen, dass ein Quadrat das optimale Rechteck für die größt mögliche Fläche ist?
Also wir haben in der 8. oder so mal mit probewerten ausprobiert und so herausgefunden, dass für Seiten a, b beim Rechteck die Fläche am größten ist mit a=b. Nun befasse ich mich mit Extremwertproblemen und frage mich, wie die Berechnung dafür ist, wenn kein Umfang und nichts direkt angegeben ist?
Wäre sehr nett :)
5 Antworten
Da man in der achten Klasse noch keine Differentialrechnung hat, muss man ziemlich kreativ sein ;-)
Seien a und b die Seitenlängen des Rechtecks.
Wenn der Umfang u vorgegeben ist, dann ist
(a + b)² = a² + 2ab + b² = (u/2)².
Außerdem ist
(a - b)² = a² - 2ab + b² = q
Es gilt q >= 0, wobei q = 0 genau dann eintritt, wenn a = b.
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt
4ab = (u/2)² - q.
Damit wird klar, dass 4ab = 4A <= (u/2)²
Die Fläche wird maximal, wenn 4A = (u/2)².
Da Gleichheit genau dann eintritt, wenn a = b, ist das Rechteck ein Quadrat.
So wie du es formulierst, ist es nicht richtig.
Es gibt natürlich bestimmte (allgemeine) Rechtecke, die größer sind, als bestimmte Quadrate.
Aber: BEI GLEICHEM UMFANG ist ein Quadrat das Rechteck mit größtem Flächeninhalt.
Wenn der Umfang nicht gegeben ist, nennst du ihn einfach U:
U = 2a + 2b -> a = U/2 - b
A = a * b = ((U/2)-b)*b = U/2*b - b²
A' = U/2 - 2b
A' = 0 -> b = U/4 -> a = U/4, also a = b
(jetzt musst du noch prüfen:
1) ob die Extremstelle ein Maximum oder ein Minimum ist
2) ob es keine größeren Werte für die Fläche am Rand gibt, also bei b = 0 bzw b = U/2
)
Im Jahrgang 8 dürfte es über Scheitelpunktbestimmung zu lösen sein.
Seite a ist (Umfang -2b)/2 (wird einfacher, wenn man U z.B. = 20 setzt, "ohne Beschränkung der Allgemeinheit sagt der Mathematiker)
a = (20 : 2 -b) = 10 - b
Flächeninhalt A also (10 - b)*b = -b²+10b
Davon Scheitelpunktform herstellen, da das ja der höchste Punkt ist.
A(b) = -(b²-10b + 25 -25 ) quadratische Ergänzung
A(b) = -(b-5)² +25
Scheitelpunkt bei b = 5 (damit ist auch a = 5) und A = 25
Wikipedia hat das als ein Anwendungsbeispiel für Extremwertrechnung: Maximiere die Fläche eines Rechtecks bei gegebenem Umfang.
Perfekt, das ist genau wonach ich gesucht habe, danke!
ist hier sehr anschaulich beschrieben. Hoffe, dir hilft das weiter:
https://matheguru.com/differentialrechnung/extremwertaufgaben.html
PS: eine gewisse Einschränkung gibt es jedoch schon, damit es "Sinn" macht. Hier nämlich größtmögliche Fläche bei gleichem Umfang.