Warum haben quadratische Körper immer das größte Volumen?
Hallo,
ich halte in ein paar Wochen ein Fachreferat in Mathe zum Thema „die optimale Dose“ und bin bei der Recherche auf die Frage gestoßen, warum quadratisch geformte Körper immer das größte Volumen aufweisen.
Diesen Sachverhalt kannte ich allerdings schon aus dem Unterricht mit Rechnungen zu Extremwertaufgaben, aber unser Lehrer hat uns nie so richtig erklärt, warum denn das Quadrat das optimalste Rechteck ist und warum die Kugel allgemein vom Verhältnis von Oberfläche zu Volumen der beste Körper ist.
Daher dachte ich mir, dass ich hier mal nach Rat frage, da ich auch sonst im Internet keine schlüssige Erklärung gefunden habe. Hierbei interessiert mich vor allem, wie es logisch betrachtet Sinn ergibt, dass 2 Körper mit gleichem Umfang dennoch ein unterschiedliches Volumen aufweisen können, nur durch die Veränderung der Form.
Ich frage mich was die Form eines Körpers mit der Ausbreitung des Volumens zu tun hat und wie das physikalisch/chemisch betrachtet Sinn ergibt. Den abstrakten, rechnerischen Beweis warum zum Beispiel das Quadrat am Optimalsten ist, habe ich bereits schon gefunden, verstehe aber wie gesagt noch nicht, wie das logisch betrachtet Sinn ergibt und würde das eventuell dann gerne in meinem Fachreferat meiner Klasse erklären können.
Freue mich auf eure Antworten :)
3 Antworten
Denke Dir einen Körper, die gar kein Volumen hat, etwa weil zwei ihrer Flächen aneinander kleben. Je weiter diese aneinander liegenden Flächen voneinander entfernt werden, desto größer wird ihr Volumen. Nun geht dieses Auseinanderschieben in jeder Dimension.
Fangen wir mit einer zweidimensionalen Form an, die Anzahl der Dimensionen wird wohl im Ergebnis ohne Auswirkung bleiben, dann sind wir - sofern wir nicht restringieren - vor allem beim Quadrat und beim Kreis, was die von Dir befragte Relation zwischen Umfang und Fläche anbelangt. Im Prinzip dürfte der Kreis diejenige Form sein, welche hier die beste Relation aufweist, das Quadrat gehört deswegen dazu, weil es den Kreis am besten ausfüllt, aber mit derselben Logik:
Stelle Dir einen Punkt vor, von dem eine Fläche ausgehen soll, dessen Relation zum Umfang optimal bzw. dessen Umfang im Vergleich zur gewonnen Fläche möglichst gering sein soll. Für jedes Stück Mehrfläche muss mehr Umfang eingepreist werden. Wenn wir eine Ecke einfügen, dann haben wir da ein Dreieck, welches - wie wir wissen - insoweit ungünstiger ist als ein Bogen.
Es geht also um das Verhältnis von Dreieck zu einem Kreissegment (Kreisausschnitt und zwar wie folgt: wir nehmen den Durchmesser und bewegen ihn in eine Richtung, dann haben wir einen Ausschnitt vom Kreis) - logisch, das ist das ganze Problem nur auf einen kleineren Ausschnitt beschränkt. Und jetzt sind wir wieder bei obigen Ausgangspunkt. Zum einen kann ich in das Segment ein gleichschenkliges hineinplatzieren, dann bleiben links und rechts von den Kanten noch Freiräume. Diese sind wieder Kreissegmente, auch in diese kann ich wieder Dreiecke einbauen - und das ganze unendlich fortsetzen, was der Entwicklung des Integrals entspricht, siehe Antwort von DerRoll. Damit ist ein Segment mit immer kleineren Dreiecken ausfüllbar. Und jetzt kommt der obige Gesichtspunkt: Die Winkel dieser Dreiecke werden immer flacher, der Winkel "nach oben" also immer weiter, die von ihr ausgehenden Seiten gehen also immer weiter auseinander. Führt man diese Seiten jedoch ganz eng aneinander, geht die Fläche verloren.
Natürlich kann man jetzt einwenden, dass die übrigen beiden Winkel ja flacher werden und damit die Dreiecke insgesamt immer flacher und in der Fläche kleiner. Aber diese Ergänzungsdreiecke muss man aufbauend auf die anderen Dreiecke im Segment ansehen, die flacher werdenden Winkel liegen an die alten an, vergrößern also die Winkel der so entstehenden Mehrecke im Segment . Damit werden die Winkel vom so entstehenden Vieleck im Segment mehr und immer größer - und ein Vieleck mit unendlich vielen Ecken und sehr großen Winkel wäre sehr nahe am Segment.
Schlussendlich habe ich das Bild vom Segment verwenden. Man hat unten eine Kante, welche einen Umfang, jedoch keine Fläche hat. Jetzt kann man über darüber, um Fläche zu bekommen, Formen ansetzen. Diese Formen kann man als Dreiecke verstehen. Diese haben eine Winkelsumme von 180°. Wenn man mehr Winkel dazu macht, hat man Vielecke mit einer größeren Winkelsumme. Das heißt aber auch, dass die Winkel nicht mehr so eng sind, die Seiten nicht mehr so beieinander liegen und daher mehr Fläche freigeben, ohne dass sich die Seiten vergrößern, die Seiten werden lediglich aufgespannt. Und wenn man unendlich viele Ecken hat, hat man ein Kreissegment, quasi maximale Aufspannung.
Jetzt zum Rechteck. Auch hier können wir wieder mit zwei aneinander liegenden Seiten anfangen, die zwar Umfang, jedoch keine Fläche erzeugen. Jetzt bewegen wir die Seiten voneinander weg und generieren Fläche. Wenn wir das in jede Dimension gleichmäßig machen, erhalten wir ein Quadrat, ein Quader etc. Warum ist Gleichmäßigkeit optimal? Derselbe Grund, warum wir oben einen Kreis und keine Ellipse erhalten: Nehmen wir an, wir haben zwei sehr lange aneinander liegenden Seiten und bewegen sie minimal auseinander. Jetzt haben wir ein bisschen Fläche gewonnen, aber die Seiten sind immer noch sehr lang. Jetzt können wir die Seiten verkürzen, indem wir sie halbieren, aber dafür die kleinen Seiten an den beiden Seiten verdoppeln, als sehr lang durch zwei und minimal mal zwei. Und hier sieht man die Relation der Veränderung im Umfang zur Fläche: Es ist für die Fläche egal, welche Seite man verdoppelt und welche man verkürzt, nicht aber für den Umfang. Also muss man dort verkürzen, wo die Seiten überdurchschnittlich lange sind, und dort verlängern, wo sie überdurchschnittlich kurz sind.
Ich sehe den Grund also in den Relationen von Seiten zueinander und von den Seiten zur Fläche sowie in den Winkel der in ihr enthaltenen Formen
Jetzt klarer?
Und das untere gilt auch für die Beziehung Ellipse zum Kreis: Die Ellipse hat zwei Achsen. Wenn man die kleiner zulasten der größeren vergrößert, kann man die Fläche bei gleichbleibendem Umfang vergrößern, bis die beiden Achsen gleichgroß sind, dann ist es ein Kreis. Die Logik ist ähnlich zu der Seitenangleichung im Rechteck zum Quadrat, man verändert die Seiten so, dass der Umfang gleichbleibt, die Fläche aber sich vergrößert bzw. die Fläche gleichbleibt, der Umfang sich aber verringert.
In der Ebene lässt sich das noch am einfachsten veranschaulichen. Ausgehend von einem Quadrat kann man dieses - bei gleichbleibendem Umfang - zu einem immer flacheren Rechteck drücken. Am Ende hat man nur noch eine Linie von der Länge des halben Umfangs, aber keinen Flächeninhalt mehr. Das zeigt zumindest, dass ein ziemlich flaches Rechteck bzgl. Inhalt nicht optimal sein kann.
Es ist nur das grösste stapelbare Volumen.
Es gibt auch andere grösste Volumen.
Eine Kugel hat am wenigsten Verpackung bei gleichem Volumen.
Ein Tetrapack (als Pyramide) kann man auch optimal stapeln. Genauso wie der Quader.
Wirklich optimal wäre ein Körper, der eine Europalette füllt. Die kann man dann optimal in einem LKW unterbringen.
Nach so einer Erklärung habe ich gesucht. Ich musste mir das Ganze mehrmals durchlesen, aber jetzt verstehe ich es.
Eine gerade Linie beim Quadrat hat nur Umfang aber keinen Flächeninhalt. Beim Kreis gibt es strenggenommen keine gerade Linie, wodurch durch Annäherung mit Dreiecken immer eine kleiner werdende Fläche entsteht. Wahnsinn!
Ich denke so ähnlich kann ich das in meinem Fachreferat erklären.
Danke!