wie kann man mit tricks die gleichung x²+1=0 lösen?
habe gehört wenn man mathematik studiert kann man diese anscheinend unmöglich zu lösende gleichung trotzdem lösen. wieviel seiten braucht man für die lösung
9 Antworten
habe gehört wenn man mathematik studiert kann man diese anscheinend unmöglich zu lösende gleichung trotzdem lösen
Dazu muss man nicht Mathematik studieren. Teilweise wird das schon in der Oberstufe gelehrt und auf jeden Fall gleich im ersten Semester, falls man einen Ingenieursstudiengang wählt. Dazu werden die sogenannten komplexen Zahlen eingeführt, deren Menge mit ℂ angegeben wird.
Jede komplexe Zahl besteht aus zwei Komponenten. Da sind der reelle Anteil und das ist der imaginäre Anteil. Um den imaginären Anteil anzugeben, wird die imaginäre Zahl i eingeführt, die der 1 bei den reelen Zahlen entspricht. Definiert wird i als:
i = √-1
In einem Koordinatensystem für komplexe Zahlen wird der reele Anteil in x-Richtung und der imaginäre Anteil in y-Richtung aufgetragen. Dadurch wird die komplexe Zahl zu einem Vektor in diesem Koordinatensystem und mit den komplexen Zahlen wird dann genau so gerechnet, wie du es vermutlich von Vektoren aus der Physik bei der Kräftezerlegung kennst. Die können entsprechend addiert, subtrahiert oder auch multiplizeirt werden. Das ist alles kein Hexenwerk.
Vor allem in der Elektrotechnik wird viel mit komplexen Zahlen gerechnet. Da ist dann z.B.die Wirkleistung der reele Anteil in x-Richtung, die Blindleistung der imaginäre Anteil in y-Richtung und die Resultierende aus beiden ist die Scheinleistung.
wieviel seiten braucht man für die lösung
Da braucht man keine Seiten. Drei Zeilen genügen:
x^2 + 1 = 0
x^2 = -1
x = √-1 = ± i
Weder noch. Üblicherweise wird C = IR^2 definiert und i = (1,0). Damit ist i^2 = -1 eine Eigenschaft, die man beweisen kann. So gut wie alle anderen "Definitionen" ist informelles Wischi-Waschi (was manchmal aber auch gewünscht ist).
okay ,dann ist i² = -1 eine Eigenschaft , die bewiesen wurde. Man kann sie benutzen . Ist aber mE in Schulbüchern oft der Start bei den imag/comp Zahlen.
Wie nennt man nun i² = - 1 ?
Ein Lemma ? einen Satz ?
In Schulbüchern sind solche vagen, unpräzisen Definitionen ja auch gewollt. Eine Aussage. Ob man es als Lemma, Satz, Proposition oder Korollar betitelt, hat nichts mehr mit der Mathematik zu tun, sondern mit dem Vortragsaufbau.
Der "Trick" ist nicht, einfach frech die Wurzel aus -1 hinzuschreiben, sondern vom bekannten Zahlenstrahl zu einer Zahlenebene überzugehen. Man fügt also eine Dimension hinzu, sodass Zahlen nun nicht mehr nur aus einer, sondern aus zwei reellen Komponenten bestehen.
Man definiert Zahlen der Form
wobei x und y reelle Zahlen sind und schließlich noch Operationen wie Addition und Multiplikation, sodass bekannte Rechengesetze aus den reellen Zahlen auch für diese zweidimensionalen Zahlen gelten (etwa Kommutativität, Assoziativität, Distributivität, Existenz Inverser, etc.).
Man kann es sich also in etwa so vorstellen, dass man nun Punkte in der Ebene als Zahlen betrachtet, nicht mehr nur Stellen auf einem Zahlenstrahl. Den reellen Zahlenstrahl selbst identifiziert man dann als die x-Achse, d.h. eine reelle Zahl x entspricht
in der Zahlenebene und die Freiheit, die nun dazugekommen ist, ist, dass Zahlen nun auch eine "Höhe" haben können, denn die Dimension nach oben und unten ist dazugekommen.
Nun weiß man ja aus dem Reellen, dass für reelle Zahlen x immer
gilt, d.h. das Produkt einer Zahl mit sich selbst (also das Quadrat) ist nie negativ. Das gilt allerdings in der Zahlenebene nicht mehr, dort ist
und auf der rechten Seite steht tatsächlich eine reelle, negative Zahl, nämlich die -1. Es gibt also eine komplexe Zahl, die im Quadrat -1 ergibt - also kann man diese Zahl (mit ein paar Einschränkungen, die jetzt aber nicht weiter wichtig sind) als die Wurzel aus -1 definieren, denn sie erfüllt ja genau das, was eine Wurzel erfüllen sollte: Sie ergibt quadriert den Radikanden.
Natürlich habe ich oben ein bisschen geschummelt, denn ich habe die Multiplikation (und Addition) zweier zweidimensionaler Zahlen nicht definiert, sondern nur am Anfang gesagt, dass man diese Multiplikation so definiert, dass elementare Rechengesetze erhalten bleiben. Tatsächlich definiert man die Addition
einfach komponentenweise, die Multiplikation hingegen als
was erstmal unnötig kompliziert erscheint. Aber es ist die einzig mögliche Definition einer Multiplikation, für die es für jede Zahl
eine Zahl
gibt, sodass
gilt und genau das braucht man ja, um dann auch die Division vernünftig definieren zu können.
Lange Rede, kurzer Sinn: Statt nur Zahlen auf dem Zahlenstrahl zu betrachten, betrachtet man Zahlen (Punkte) in der Zahlenebene, fügt also eine Dimension hinzu. Es gibt nur eine einzige mögliche Definition der Multiplikation solcher zweidimensionalen Zahlen, für die elementare Rechengesetze gelten. Mit dieser Multiplikation ist (1,0)² = (-1,0), d.h. es gibt eine zweidimensionale Zahl, die quadrier die reelle Zahl -1 ergibt. Man kann in der Ebene also Wurzeln aus negativen Zahlen definieren, denn es gibt dort Zahlen, die quadriert tatsächlich etwas Negatives ergeben (anders als im Reellen/Eindimensionalen!). Die Zahl (1,0) schreibt man dann kürzer als i.
Du gehst von falschen Voraussetzungen aus, die Gleichung ist nicht unlösbar. Die Gleichung ist im Lösungsraum der reellen Zahlen nicht zu lösen. Erweitere ich den Lösungsraum, erhalte ich auch eine Lösung.
Diese Gleichung ist sogar gut, um die Definition des Zahlenraumes zu definieren. Denn wenn ich zu einer Zahl einen imaginären Anteil i hinzu nehme, kann ich definieren:
Die Lösung der Gleichung x² = -1 wird im Betrag als i definiert.
Mit den imaginären Zahlen erhältst Du als Lösung für x ∈ {i; -i}.
Es wirkt immer etwas dämlich, wenn man das
Wichtigste vergisst.
wieviel seiten braucht man für die lösung ?
weniger als 1% einer Seite......................Für die Herleitung reichen 3,4,5 Zeilen.
.
Definiert wird i als:
i = √-1......................ich dachte eigentlich , es wird i² = -1 definiert , so dass i = + - wurz(-1) ist .