Wie kann man die Gleichungskette i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 beweisen?

Die Gleichungen sind die Hamilton-Regeln welche die sogenannten Hamilton-Zahlen definieren, die auch Quaternionen genannt werden.

Das ist ein 4-dimensionaler reeller Vektorraum mit den 4 Basisvektoren 1, i, j und k in dem eben i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 gilt. Die komplexen Zahlen sind ein 2-dimensionaler Unterraum davon.

Man muss hier aufpassen: die Multiplikation ist hier nicht kommutativ. Sie wird folgendermassen definiert:

(x0​+x1​⋅i+x2​⋅j+x3​⋅k) * (y0​+y1​⋅i+y2​⋅j+y3​⋅k) =

(x0⋅y0−x1⋅y1−x2⋅y2−x3⋅y3) +

(x0⋅y1+x1⋅y0+x2⋅y3−x3⋅y2)⋅i +

(x0⋅y2−x1⋅y3+x2⋅y0+x3⋅y1)⋅j +

(x0⋅y3+x1⋅y2−x2⋅y1+x3⋅y0)⋅k

damit ergibt sich

i^2 = (0​+1​⋅i+0​⋅j+0​⋅k) * (0​+1​⋅i+0​⋅j+0​⋅k) =

(0⋅0−1⋅1−0⋅0−0⋅0) +

(0⋅1+1⋅0+0⋅0−0⋅0)⋅i +

(0⋅0−1⋅0+0⋅0+0⋅1)⋅j +

(0⋅0+1⋅0−0⋅1+0⋅0)⋅k = -1

Genauso geht es für j^2 und k^2 - immer ist alles 0 bis aus eine -1 im Realteil.

und dann bzgl. ijk :

ij = (0​+1​⋅i+0​⋅j+0​⋅k) * (0​+0​⋅i+1​⋅j+0​⋅k) =

(0⋅0−1⋅0−0⋅1−0⋅0) +

(0⋅0+1⋅0+0⋅0−0⋅1)⋅i +

(0⋅1−1⋅0+0⋅0+0⋅1)⋅j +

(0⋅0+1⋅1−0⋅0+0⋅0)⋅k = k

und damit ist ijk = k°k = -1 wie oben

Auf Mathepedia gibt es folgende Definition der Multiplikation zweier Quaternionen:

Das heißt:

Multipliziert man:

 Sieht man, dass in der Definition außer für den Realteil der Quaternionen immer ym mit xn multipliziert wird, wobei m!=n, nur im Realteil gibt es:

 Was analog für j und k gilt.

Jetzt zu:

 Betrachten wir zuerst i*j:

 Wir suchen jetzt in der Definition der Multiplikation Verknüpfungen für die x1 mit y2 multipliziert wird. Das ist nur im letzten Summanden, es gilt also:

 Und i*j*k deshalb -1.