Sei f : (a,b) → R eine differenzierbare Funktion, f′ : (a,b) → R ihre stetige Ableitung. Z.z. für zwei beliebige positive Nullfolgen (hn)n∈N gilt (siehe Bild)?
Leider weiß ich bei dem Beweis nicht so richtig wie ich anfangen soll und welche Inhalte wichtig sind. Ich bekam den Tipp, den Beweis über einen Epsilon-Beweis zu machen. Könnte mir vllt jemand helfen wie man vorgeht? Danke im Voraus:)
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
höhere Mathematik, Mathematiker, Beweis
Brauchst Du gar nicht mit epsilon-Beweis machen. Betrachte dazu die Nullfolge
G_n = h_n + H_n
Es gilt:
lim ((f(x_0 + H_n) - f(x_o - h_n))/(h_n + H_n)) = lim ((f((x_0 - h_n) + (h_n + H_n)) - f(x_0 - h_n))/(h_n + H_n)) = lim ((f(x_0 - h_n) + G_n) - f(x_0 - h_n))/ G_n) = lim f‘(x_0 - h_n) = f‘(x_0),
vorletzte Gleichung auf Grund der Definition der Ableitung, letztere auf Grund der Stetigkeit der Ableitung in x_0.
Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie