Wie kann ich diese Entwicklung darstellen?
Ich war für längere Zeit abwesend und habe momentan etwas Probleme in Mathe. Die Aufgabe lautet folgendermaßen: "Max hat zur Konfirmation 1400€ bekommen und legt diese bei einer Bank für 1,5% jährliche Zinsen an. Er möchte jedes Jahr gerne 150€ davon abheben. a) Wie entwickelt sich sein Guthaben? b) Wie viel darf Max jedes Jahr nur abheben, damit er 1400€ Guthaben behält?"
Ich verstehe überhaupt nicht, wie ich diese Aufgaben lösen soll. Ich weiß nur das ich die Entwicklung iterativ oder explizit darstellen kann, habe aber keine Ahnung was der Unterschied zwischen den beiden ist. Kann mir bitte jemand helfen? Danke im Voraus. Mfg
4 Antworten
Überleg dir, um welchen Faktor das Guthaben pro Jahr größer wird. Das ergibt G=1400€ + t* 1400€ * 1,015. Von dieser Gleichung musst du noch subtrahieren die 150€ pro Jahr(t). Die Funktion lautet also G=1400€ + t* 1400€ * 1,015 - 150€ * t. Das ist die explizite Lösung. Bei der iterativen müsste man den jährlichen Anteil der 1400€ addieren immer zum Wert des Vorjahres addieren.
Bei b) muss die Vergrößerung und die Abnahme des Guthabens gleich groß sein, also 1400€ * 1,015 = x.
Da hier nicht gegeben ist, ob mit Zinseszins oder ohne gerechnet werden soll, habe ich die Gleichungen für den Fall ohne Zinseszins aufgestellt, da häufig eher von Schülern verlangt wird. Da ich aber trotzdem erst mit Zinseszins gerechnet habe, steht da 1400€ +1400€*1,015*t und nicht 1400€ + 1400€ * 0,015 *t. Das hatte ich dann einfach vergessen.
aber es hat nichts mit oder ohne Zinseszins zu tun, ich verweise nochmal auf den zwangsläufig stufigen Verlauf durch Abhebungen. Dieser Graph kann niemals durch die von dir gegebene Gleichung entstehen.
Auf Grund des Beispiels unterstelle ich, dass du eine kaufmännische Schule besuchst (in Österreich wäre das zB eine Handelsakademie, kurz HAK; es entspricht in etwa Gymnasium-Oberstufe - ab 9.Klasse - und endet mit Matura=Abi).
Das Ganze stellt eine Zahlungsreihe dar, deren Anfangswert 1400€ beträgt und bei der regelmäßig eine gleichbleibende Rate - eben 150€ - ausbezahlt wird.
Die Formel dafür ist etwas kompliziert hier darzustellen, daher nur der Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung
(es ist die formel für Barwert nachschüssig!)
Für den Fall, dass meine Vermutung falsch ist:
Guthaben nach einem Jahr: G₁ = 1400·1,015 - 150 = 1320
Guthaben nach einem Jahr: G₂ = G₁·1,015-150 = 1.189,80 usw.
Diese Aufgabe ist so nicht lösbar, du völlig unklar ist wann die Abhebung erfolgt.
Max kann die 1400 Euro abheben und dann 1 Jahr später 150 Euro abheben, folglich wurden die vollen 1400 Euro im ersten Jahr verzinst.
Max könnte aber genauso gut 1400 Euro einzahlen, tags darauf 150 Euro abheben und somit nur Zinsen für 1250 Euro bekommen.
Die Info dass Max Geld abhebt reicht nicht aus, man muss wissen, wann dieses Geld abhoben wird.
Tut mir Leid ich verstehe gerade das Problem nicht, in der Aufgabe steht (wie oben beschrieben) die Abhebung von 150€ erfolgt jährlich (also nur ein mal pro Jahr).
Wenn man das durchspielt, merkt man schon nach 3 Jahren, dass das Guthaben unter 1000 € gefallen ist. Deshalb habe ich gar nicht weitergerechnet.
Tasächlich ist 1400 * 1,015 = 1421 nach einem Jahr.
Max dürfte also nur 21 € abheben, um seine Einlage auf 1400 € konstant zu halten, von Vermehrung ganz zu schweigen.
Selbst wenn er gar nichts abhebt, ist 1400 * 1,015¹⁰⁰ nach 100 Jahren bei 6205 € gelandet, nach 10 Jahren mal gerade bei 1625 €.
Das kann schon offensichtlich nicht stimmen. Wenn man 1400 Euro für 1,5% verzins bekommt, kann mit t = 1 Jahr nicht insgesamt mehr als 2 x 1400 Euro dabei herauskommen.
Zudem berücksichtigt diese Formel offensichtlich nicht, dass es im 2. Jahr schon keine Zinsen mehr auf 1400 Euro gibt sondern auf den Geldbetrag der noch vorhanden ist.
Wenn man sich allein den Graphen überlegt, der den Kontostand beschreibt: es entsteht immer eine Stufe wenn etwas abgehoben wird
wird sofort klar, warum man das unmöglich mit der genannten linearen Funktion beschreiben kann.
Auch bei b)
erkennt man sofort, dass man unmöglich mehr als 1400 Euro abheben kann und dabei das Guthaben nicht sinkt.