Wie kann ich die Gleichung einer Bildgerade erhalten wenn P' bekannt ist(zentrische Streckung?
Wenn ich in einer Aufgabe die Gleichung der Urgerade g, den Streckungsfaktor k, einen Punkt auf der Urgerade P gegeben habe. Und der Bildpunkte P' schon bestimmt ist, wie kann ich dann die Gleichung Bildgerade g' rechnerisch bestimmen?
1 Antwort
Hallo,
Ohne die Kenntnis des Streckzentrums Z kann man die Bildgerade nicht ermitteln. Kennt man Z, P und den Bildpunkt P' der Streckung s
( P' = s(P) ) , kann man k berechnen.
Streckzentrum sei also Z, Streckungsfaktor sei k .
P liegt auf einer Geraden g, der Bildpunkt von P unter der Streckung s
sei P' := s(P) .
Gesucht ist die Geradengleichung der Bildgeraden, also s(g).
Die blaue Gerade ist die Gerade, die du "Urgerade" genannt hast, und die ich g nenne. Die grüne Gerade ist die Bildgerade g' := s(g) .
Eine Möglichkeit wäre, einen zweiten Punkt Q≠P auf der Geraden g zu wählen und Q' := s(Q) zu berechnen. Die Bildgerade g' = s(g) ist dann durch die Punkte P' und Q' eindeutig bestimmt. Im Bild ist k = 2 .
Wenn man die Koordinaten von P' und Q' kennt, kann man daraus die Geradengleichung von (P'Q') = s(g) ermitteln.
Gruß
Mir ist gerade ein Argument eingefallen, mit dem die Aufgabe viel einfacher wird. Man muss nur wissen (Satz), dass eine zentrische Streckung eine Gerade g auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet.
Das bedeutet, dass die Bildgerade s(g) den gleichen Steigungsfaktor wie g hat.
Lautet die Geradengleichung von g
y = mx + b
dann lautet die Gleichung von s(g)
y = mx + b'
mit gleicher Steigung m, und das b' kann man durch einsetzen der Koordinaten von P' bestimmen.