Wie rechnet man diese aufgabe bezüglich vektoren?
Gegeben ist die gerade g durch die Punkte a(4/-2/3) und b 0/8/7 bestimmen Sie eine gleichung der bildgeraden g' bei Spiegelung an g.
An der Ebene x1+2x2+3x3=9
Leider war ich krank und habe viel Unterricht verpasst
1 Antwort
Hallo,
ich nehme an, die Aufgabe lautet, die Gerade g an der Ebene E zu spiegeln und dadurch die Gerade g' zu erzeugen? Das ergäbe mehr Sinn. ;-)
Also, zunächst ein paar ganz grundsätzliche Sachen.
Um eine Gerade zu definieren, benötigst Du genau zwei verschiedene Punkte, das gilt auch für drei Dimensionen wie hier. Die Gerade g ist also vollständig dadurch definiert, dass sie durch die Punkte a und b verläuft.
Die Koordinaten eines Punktes in einem dreidimensionalen System bestehen entsprechend auch aus drei Werten, meist x, y und z, in der Aufgabe werden diese Variablen aber x_1, x_2 und x_3 genannt. Namen sind in der Mathematik in Bezug auf Variablen nicht so wichtig, da geht es mehr darum was sie enthalten bzw. bedeuten und weniger darum, wie sie genau betitelt sind.
Eine Gleichung wie die gegebene x_1+2•x_2+3•x_3=9 beschreibt im Dreidimensionalen eine Ebene, denn Du kannst zu jeder Kombination von beliebig gewählten x_1 und x_2 ein zu diesen passendes x_3 finden, so dass das Tripel (x_1|x_2|x_3) die Gleichung korrekt löst, wenn Du sie dort einsetzt.
Beispiel: Die Werte x_1=1, x_2=1, x_3=2 in die Gleichung eingesetzt ergeben
1 + 2•1 + 3•2 = 9, was korrekt ist.
Das heißt, der Punkt (1|1|2) ist ein Element der Ebene bzw. liegt auf oder in der Ebene.
Bemerkung: Eine Gerade kannst Du also NICHT als solch eine Gleichung angeben, denn dabei würde eine Ebene herauskommen. Geraden werden daher als Ortsvektor + k•Richtungsvektor angegeben. Der Ortsvektor ist dabei ein Vektor, der von (0|0|0) zu einem beliebigen Punkt AUF der Geraden zeigt, der Richtungsvektor ist ein beliebiger Vektor, der ENTLANG der Geraden zeigt. In der Aufgabe z.B. kann für die Beschreibung der Geraden g der Vektor zu Punkt a als Ortsvektor gewählt werden und ein guter Kandidat für den Richtungsvektor ist der, der von a nach b zeigt.
Konkreter zur Aufgabe:
Die Gerade g ist durch die zwei Punkte a und b vollständig definiert, daher genügt es, nur die beiden Punkte an der Ebene zu spiegeln, um zwei Punkte a' und b' zu erhalten, die dann die Gerade g' definieren.
Wir spiegeln also nur die beiden Punkte a und b an der Ebene und sind dann quasi schon fertig.
Was genau heißt es jetzt, etwas an einer Ebene zu spiegeln?
Wenn Du vor einem Spiegel stehst und schaust genau senkrecht auf diesen drauf (d.h. Du schaust genau ins Auge Deines Spiegelbildes), erscheint Dein Spiegelbild exakt gleich weit vom Spiegel entfernt zu sein wie Du und die Blickrichtung von Deinem Auge zum Spiegel hin steht genau senkrecht auf der Spiegelebene.
Die mathematische Spiegelung funktioniert sehr ähnlich, nur dass ein konkretes Spiegelbild erzeugt wird:
Von dem gegebenen Punkt aus müssen wir also senkrecht zur Ebene zu dieser hinwandern und wandern dann auf der anderen Seite der Ebene in die gleiche Richtung weiter, bis wir die gleiche Distanz zur Ebene erreicht haben wie der Originalpunkt hatte.
Konkret: Wir benötigen einen Vektor n, der senkrecht zur Ebene verläuft. Dann starten wir in einem der Punkte a bzw. b und addieren von dort aus so oft den Vektor n, bis wir in der Ebene sind. Dann addieren wir nochmal exakt genauso oft den Vektor n und landen beim gespiegelten Punkt a' bzw. b'.
Dieser Vektor n heißt Normalenvektor und hat die angenehme Eigenschaft, dass er anhand der Ebenengleichung abgelesen werden kann:
1•x_1 + 2•x_2 + 3•x_3 = 9
lautet die Gleichung, die Vorfaktoren von x_1, x_2 und x_3 lauten (1|2|3) und das ist auch schon der Normalenvektor n.
(WARUM das so ist, möchte ich jetzt hier nicht ausführen. Frag aber gerne noch mal nach, wenn Dich da eine Herleitung bzw. ein Beweis interessiert.)
Bei dieser speziellen Aufgabe ist es zuuufälligerweise so, dass der Punkt a bereits in der Ebene liegt. Das können wir ziemlich flott feststellen, indem wir seine Koordinaten (4|-2|3) als x_1, x_2 und x_3 in die Ebenengleichung
1•x_1 + 2•x_2 + 3•x_3 = 9 einsetzen und feststellen, dass
1•4 + 2•(-2) + 3•3 = 9 tatsächlich korrekt ist.
[Tipp: Auszuprobieren, ob vorgegebene Punkte eventuell bereits innerhalb vorgegebener Ebenen oder Geraden liegen, ist schnell getan und spart ggf. relativ viel Arbeit.]
Wenn wir Punkt a an der Ebene spiegeln, kommt dabei (weil der Punkt ja IN der Ebene liegt) beim Spiegeln exakt derselbe Punkt heraus, wir wissen also bereits, dass a' = a gilt.
Bestimmen müssen wir nun nur noch b' (denn der Punkt b liegt nicht innerhalb der Ebene. Setzen wir seine Koordinaten in die Ebenengleichung ein, kommt NICHT 9 heraus.).
Und so setzen wir an:
Wir starten in (0|0|0) und wandern einen Ortsvektor zu Punkt b entlang, dieser lautet (0|8|7). Von dort aus addieren wir ein k-faches des Normalenvektors n = (1|2|3) hinzu, so dass wir innerhalb der Ebene herauskommen.
(An dieser Stelle haben wir übrigens eine Gerade, die sogenannte Normalengerade, beschrieben, mit Ortsvektor (0|8|7) und Richtungsvektor (1|2|3))
Damit finden wir heraus, wie groß der Wert von k ist.
Dann wandern wir von dort aus erneut ein k-faches des Normalenvektors weiter und landen beim gespiegelten Punkt b'.
Und los gehts!
Die Normalengerade, die wir betrachten lautet (x_1|x_2|x_3) = (0|8|7) + k • (1|2|3),
wir suchen den Schnittpunkt mit der Ebene 1•x_1 + 2•x_2 + 3•x_3 = 9,
um den Wert von k herauszufinden.
Im Schnittpunkt zweier Objekte gilt, dass der Schnittpunkt beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, hier also, dass der Punkt auf der Normalengeraden liegt und gleichzeitig die Ebenengleichung erfüllt.
Wir setzen also, wie meist in solchen Situationen, die eine Bedingung in die andere Bedingung ein. Das geht hier folgendermaßen:
Die Normalengerade besteht eigentlich aus drei einzelnen Gleichungen:
(x_1|x_2|x_3) = (0|8|7) + k • (1|2|3)
=>
x_1 = 0 + k • 1
x_2 = 8 + k • 2
x_3 = 7 + k • 3
Diese drei Aussagen können wir jetzt in die Ebenengleichung einsetzen, wir ersetzen dort also die Variablen x_1, x_2 und x_3 mit der jeweils rechten Seite der obigen drei Gleichungen. Das sieht dann so aus:
1•x_1 + 2•x_2 + 3•x_3 = 9
=> 1•(0 + k • 1) + 2•(8 + k • 2) + 3•(7 + k • 3) = 9
=> [auflösen] 1•k + 16 + 4•k + 21 + 9•k = 9
=> [zusammenfassen] 14•k + 37 = 9
=> [-37] 14•k = -28
=> [/14] k = -2
Es gilt also k = -2.
Kurze Probe:
[Zu welchem Punkt weist die Normalengerade für k = -2?]
(0|8|7) - 2 • (1|2|3) = (-2|4|1);
[liegt dieser Punkt auf der Ebene?]
1•(-2) + 2•4 + 3•1 = -2 + 8 + 3 = 9
[Ja, das ist korrekt! Probe erfolgreich!]
Zum gespiegelten Punkt kommen wir, wenn wir den Wert von k verdoppeln und in die Normalengleichung einsetzen:
2•k = -4
(0|8|7) - 4 • (1|2|3) = (-4|0|-5)
Der Punkt b' lautet also b' (-4|0|-5).
Und oben hatten wir schon festgestellt, dass a' = a, also a' (4|-2|3) gilt.
Damit haben wir die gespiegelten Punkte a' und b' und damit die gespiegelte Gerade g', die genau durch diese beiden Punkte verläuft.
Okay, ich hoffe, dass Du mit dieser Erklärung zurecht kommst. Frage gerne noch mal nach, wenn Dir einzelne Schritte unklar oder zu schnell waren.
Bemerkung noch am Ende: Ich habe hier Vektoren wie Punkte geschrieben, also mit den Werten nebeneinanderstehend. Das ist eigentlich falsch, denn bei Vektoren werden ihre Werte übereinanderstehend geschrieben. Das ist wichtig, da Punkte konkrete Koordinaten beschreiben, während Vektoren Positionsveränderungen beschreiben und nicht an feste Koordinaten gebunden sind. Ich hoffe, dass Dich das nicht verwirrt und Du beim Arbeiten daran denkst, Vektoren mit übereinanderstehenden Werten aufzuschreiben.
Und noch eine allerletzte Bemerkung: Wenn wir versucht hätten, den Punkt a an der Ebene zu spiegeln, hätten wir ganz genauso gearbeitet wie beim Punkt b, aber wir hätten für k den Wert Null herausbekommen, da a ja bereits in der Ebene liegt. Und 2•k wäre dann immer noch Null geblieben, wir hätten also auch dort festgestellt, dass a = a' ist.
Viel Erfolg und viele Grüße!
