Wie kann ich die folgende Formel umwandeln?

Die Wahrscheinlichkeit p_n, dass eine Familie genau n Kinder hat, sei 

$a\cdot p^n$ für n ≥ 1 und p_0 = 1−ap(1+p+p^2 +···), wobei p ∈ (0,1) und 0 < a ≤ (1−p)/p. Ferner sei für Familien mit der Kinderzahl n die Verteilung der Geschlechter der Kinder die Gleichverteilung.

Die Aufgabe lautet:

 Zeigen Sie für k ≥ 1, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie genau k Jungen hat, gegeben ist durch

$\frac{\left(2a\cdot p^k\right)}{\left(2-p\right)^{k+1}}$

Was habe ich bisher herausgefunden?Ich habe bisher:

$\frac{a}{k!}\sum_{n=k}^∞\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\cdot\left(\frac{p}{2}\right)^n$

Wir wissen auch schon, dass diese Formel in die obige umgewandelt werden soll. Leider hänge ich auf dem Schlauch. Man kann umschreiben:

$\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=n\cdot\left(n-1\right)\cdot....\cdot\left(n-k+1\right)$

Außerdem kann man

$x=\frac{p}{2}$ setzen. Dann erhält man x^n und kann darauf die geometrische Reihe verwenden.

$\sum_{n=0}^∞x^n=\frac{1}{1-x}$

Weiter gilt:

$\sum_{n=0}^∞x^n=x^0+x^1+x^2+......$

Meine letzte Idee ist, dass man die Summe ableiten kann und auch den Bruch

$\frac{1}{1-x}$

ableiten kann, damit man erhält:

$1+2x+3x^2+.....=\frac{1}{\left(1-x\right)^2}$

Leider weiß ich ab hier nicht mehr weiter. Gegeben mit den ganzen Informationen, die ich hier bereitstelle, kann mir da jemand weiterhelfen? Hat jemand eine Idee? Ich wäre euch sehr verbunden.
Beste Grüße

Euer Mathestudent

Answer 1

[eterneladam]

Du musst bei deiner Summe ("...bisher herausgefunden...") noch einen Faktor (p/2)^k vor die Summe ziehen.

Mit der Substitution x= p/2 hast du dann für die Summe den Ausdruck

d^k / dx^k ( 1/(1-x) ), und das ist gleich

k! / (1-x)^(k+1)

Jetzt musst du alles nur noch zusammensetzen.

Comments

[MatheStudentRUB]

Dennoch frage ich mich, wo ich (p/2)^k herzaubern soll🤔

[eterneladam]

@MatheStudentRUB

(p/2)^k habe ich aus der Summe herausgezogen

[MatheStudentRUB]

@eterneladam

Ich bin soweit fertig mit der Aufgabe, erst einmal möchte ich mich bedanken:) Wenn man mit dem (p/2)^k arbeitet, dann geht bei mir alles wunderbar auf. Jedoch frage ich mich noch immer, wo dieses (p/2)^k auftaucht? Ist es einfach ein Faktor zur Berechnung, den ich vergessen habe mit einzubinden oder entsteht er im Laufe der Rechnung. Meine Kommilitonen und ich versuchen dies gerade herauszufinden. Beste Grüße 😎

[MatheStudentRUB]

@MatheStudentRUB

Wir haben es raus! Wir sind seit Tagen nicht auf den Trichter gekommen, dass wir die Summe ausschreiben können und dann das (p/2)^k rausziehen können. Vielen Dank:)

[MatheStudentRUB]

Guten Abend:) Wofür steht denn "d" ? LG

[MatheStudentRUB]

@MatheStudentRUB

Die Frage hat sich erledigt. Habe es selbst herausgefunden:)

[eterneladam]

@MatheStudentRUB

d^k / dx^k ist die k-fache Ableitung