Wie gebe ich die parameterfreie Darstellung einer Geraden im Raum an?
Hey Leute!
Ich habe folgende Gerade: (-1, 1, 2) + s(1, -2, 1)
(Ich weiß nicht, wie ich hier die Vektorenschreibweise einfüge ^^)
Wie sieht die parameterfreie Darstellung dieser Geraden aus?
Danke
2 Antworten
Hallo,
eine parameterfreie Darstellung einer Geraden im Raum kann man mit dem Kreuzprodukt realisieren:
(1|-2|1) x [ (x|y|z) - (-1|1|2) ] = 0
oder
(1|-2|1) x (x+1|y-1|z-2) = 0
Gruß
Du kannst die Gerade auch in der Normalenform darstellen. Ein Normalenvektor zu (1|-2|1) ist bspw. (1|1|1)
Dann ist ( x-(1|1|1) ) * (1|-2|1) = 0 eine parameterfreie Form der Geraden. Jeder Punkt x auf der Geraden erfüllt diese Gleichung.
Hallo,
das ist die Gleichung einer Ebene!
Diese Ebene geht durch Aufpunkt (1|1|1) und wird durch zwei Vektoren aufgespannt: 1. dem Normalenvektor n = (1|1|1) und 2. einem Vektor m, der auf n und auf dem Richtungsvektor der Geraden der Parameterdarstellung senkrecht steht.
Auch durch die Anzahl der Variablen und der Anzahl der Gleichungen ist klar, dass die Gleichung keine Gerade beschreibt: eine Gleichung und drei Variablen x,y,z, das ergibt zwei Freiheitsgrade.
Diese Form der Gleichung mit dem Skalarprodukt ergibt nur im ℝ² eine Gerade.
Siehe auch wikipedia:
Geraden im Raum lassen sich nicht in der Normalenform darstellen, da sie weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzen (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen)
Gruß
Es muss natürlich ( x-(-1|1|2) ) * (1|1|1) = 0 heißen.