Winkel zwischen zwei Vektoren im zweidimensionalen Raum?

Folgende Problematik:

Ich möchte einen Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen [ á(-6, -4); b(7,5) ].

Allerdings gehen die beiden Vektoren nicht vom Null-Punkt weg sondern von der Koordinate X(-4|2).

Wie gehe ich nun vor?

Answer 1

[gauss58]

arccos(α) = │-40│ / (√(130) * √(40)) = 56,3099°

180° - 56,31° = 123,69°

Answer 2

[ohwehohach]

Das ist schon alleine deswegen Quatsch, weil Vektoren keinen Startpunkt haben.

Und selbst wenn ein Vektor durch zwei Punkte in R² gegeben ist, dann "beginnt" er nicht an einem Punkt, dann ergibt sich der Vektor als (x2-x1, y2-y1).

https://matheguru.com/lineare-algebra/winkel-zwischen-zwei-vektoren.html

Comments

[steezh]

Ich habe eben meine Frage mit einem Bild aktualisiert - siehe oben.

Wie berechne ich Nun den Winkel zwischen den Beiden Vektoren?

[ohwehohach]

@steezh

Das Bild ändert nichts an der Tatsache, dass Du den Winkel genau so berechnest, wie in der von mir verlinkten Seite beschrieben. Außerdem hast Du beide Vektoren falsch eingezeichnet.

(-6, -4) und (7, 5) bedeuten nicht, dass die Vektoren in diesem Punkt enden, sondern, dass Du von einem gegebenen Ausgangspunkt den Zielpunkt erreichst, indem Du beispielsweise 7 nach rechts und 5 nach oben gehst oder 6 nach links und 4 nach unten.

Answer 3

[Mathetrainer]

Das ist völlig Wurscht, wo die Vektoren beginnen. Der Winkel, den zwei Vektoren einschließen, errechnet sich über:

$\cos\left(\alpha\right)=\frac{\left|\vec{\vec{a}\cdot\vec{b}}\right|}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$ Vektor a und b sind die beiden gegebenen Vektoren. Somit ist

$\cos\alpha=\frac{-42-20}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{94}}=-0,88680083$ $\alpha=152,47$

Comments

[Mathetrainer]

Sorry, Rechenfehler, es muss nicht \sqrt94) heißen sondern \sqrt(74). Dadurch ergibt sich für cos(\alpha)=-0,999480114 und \alpha = 178,15.

Deine 123,69 sind falsch. Ich poste gleich noch mal eine korrekte Grafik.

[steezh]

Der Winkel sollte aber 123,69 Grad haben

Answer 4

[Mathetrainer]

Sorry, aber die gepostete Grafik ist falsch. Bei den beiden Vektoren handelt es sich eindeutig um Richtungsvektoren, sodass die Grafik wie folgt aussieht:

und diese Grafik meldet eindeutig \alpha = 178,15 °, wie ich dies auch rechnersich nachgewiesen habe.