Wie findet man heraus welche Vektoren orthogonal zu a und b sind?
Bei dem zweiten Bild handelt es sich um die Lösung brauche aber den Weg bzw. einen Ansatz. Die Aufgabe soll OHNE Taschenrechner gelöst werden.
4 Antworten
Der schnellste Lösungsweg, der mir einfällt, ist: Erkenne, dass im dreidimensionalen Raum, das Orthogonalkomplement zu den beiden gegebenen (linear unabhängigen) Vektoren ein eindimensionaler Raum (also quasi eine Gerade) sein muss.
D.h. wenn man einen Vektor (ungleich dem Nullvektor) hat, der orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren ist, so sind die gesuchten Vektoren genau die Vielfachen dieses Vektors.
Einen Vektor, der orthogonal zu den beiden gegebenen Vektoren ist, erhält man beispielsweise mit dem Kreuzprodukt:
Demnach sind die gesuchten Vektoren die Vielfachen dieses Vektors (4; 14; -1).
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Beim vorigen Lösungsweg, musste man als Vorüberlegung einbringen, dass der Lösungsraum eindimensional sein muss und man sich einen entsprechenden Vektor mit dem Kreuzprodukt besorgen kann. Es geht aber auch näher an der Definition, ohne solche Vorüberlegungen.
Nach Definition von Orthogonalität gilt:
Im konkreten Fall muss also für die gesuchten Vektoren (x₁; x₂; x₃) gelten:
Dies führt dann zu einem linearen Gleichungssystem, welches man lösen kann...
1a+0b+4c=0
4a-1b+2c=0
I-2II) - 7a+2b=0
a=2/7*b
c=-1/4*a=-1/14*b
Xpfeil=t*(oben 2/7B, MITTE B, UNTEN
- 1/14B)
Da kannst du nun beliebig einsetzen, eine Möglichkeit besteht darin b=14 zu wählen. Gibt aber noch unendlich viele andere.
Kreuzprodukt.
Für die orthogonalen Vektoren (x,y,z) muss gelten
1*x + 0*y + 4*z = 0
4*x -1*y +2*z = 0
Weil das Gleichungssystem unterbestimmt ist, setzt man x = 1
1 + 0*y + 4*z = 0
4 -1*y +2*z = 0
Für y und z folgt daraus
y = 7/2
z = -1/4
Ein orthogonaler Vektor lautet also n = (1, 7/2, -1/4 ). Jedoch sind dann auch alle Vielfachen des Vektors orthogonal
(I) n = t * (1, 7/2, -1/4 )
In der Lösung der Aufgabe hat man den Vektor mit dem Faktor 4 multipliziert, damit die Brüche verschwinden.
(II) n = t * (4, 14, -1 )
Die Darstellungen (I) und (II) sind identisch.