Mathe warum liefert mein Taschenrechner falsches Ergebnis (Thema Gleichungssysteme berechnen bei einer Vektor Aufgabe)?
Siehe Folie von Professor also er hat das manuell ausgerechnet aber wir dürfen in Prüfung Taschenrechner benutzen aber bei mir steht "unendlich viele Lösungen" warum?
3 Antworten
Der Taschenrechner liefert kein falsches Ergebnis. Es gibt tatsächlich unendlich viele Lösungen. Du kannst für beta ja nicht nur 1 sondern jede beliebige andere Zahl einsetzen.
Da steht "Setze β=1". Das bedeutet, dass er das quasi willkürlich festgelegt hat. Er hat es sich ausgesucht...
Und nur wenn gilt β=1, dann bekommt man (durch einsetzen) für γ = 1 und α = -2 heraus.
Ok wenn man etwas anderes setzen würde wäre es genau so richtig?
Ja, wenn du für eine der Variablen irgendwas anderes einsetzt und die anderen zwei dazu ausrechnest, ist das genauso richtig.
hmm ok letzte frage also es sind ja 3 Zeilen im Gleichungssystem 3 mal a 3 mal b 3 mal c muss man da jetzt für jedes a was anderes einsetzen und dann den rest berechnen sorry falls die frage blöd klingt WO GENAU setzt man für eine der variablen was anderes ein also an welcher Stelle und für alle a's ? Mit freundlichen Grüßen
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich dich richtig verstanden habe... Innerhalb eines Gleichungssystems sind selbstverständlich alle α gleich. Das ist doch der Sinn eines Gleichungssystems. Welche "Version" (Umformung) des Gleichungssystems du zum Einsetzen nimmst, ist prinzipiell egal. Allerdings hat die Umformerei ja den Sinn, das Gleichungssystem zu lösen oder zumindest soweit zu vereinfachen, bis man die Lösung erkennt.
Hier würde das also heißen, dass du die letzte Version nimmst:
α + β + γ = 0
0 - β + γ = 0
0 + 0 + 0 = 0
Wenn du jetzt wie dein Lehrer festlegst β = 1, dann folgt daraus:
α + 1 + γ = 0
0 - 1 + γ = 0
Aus der zweiten Gleichung folgt durch Umformen:
γ = 1
Wenn du dass dann in die erste Gleichung einsetzt, sieht das so aus:
α + 1 + 1 = 0
Und daraus folgt dann:
α = -2
An der Stelle, die ich dir fett markiert habe könntest du für β jeden beliebigen anderen Wert einsetzen und stattdessen damit weiterrechnen.
ok danke alles verstanden letzte frage, wenn ich das Gleichungssystem nicht schriftlich zu dem Punkt löse wie mein Lehrer es gemacht hat sondern einfach direkt im Taschenrechner einsetze beim ersten aufstellen halt so wie ich es am Foto gemacht habe, gibt es eine Möglichkeit, das ich das danach halt so festlege das ß halt eben 1 ist und mir die restlichen werte liefern lasse? ich mein du hast ja auch quasi das Gleichungssystem was schon umgeformt ist genommen da ganz unten am Foto, aber würde das auch direkt bei dem ersten Gleichungssystem einsetzbar sein was noch nicht umgeformt ist was noch nicht 0+0 hat sondern halt
a + b + y = 0
2a -4b +8y = 0
-2a + 3b -7y = 0
von diesem System her kann ich da auch schon ß = 1 einsetzen damit ich die restlichen werte korrekt bekomme vom Taschenrechner? Das ding ist warum ich frage weil in der Arbeit dürfen wir ja Taschenrechner benutzen und ich will nicht minutenlang daran verbringen das Gleichungssystem mit dem Gauß Verfahren diese 0en da zu erzeugen viel schneller ging es wenn ich es direkt einsetzen könnte falls das denn möglich ist?
Mit freundlichen Grüßen
Wenn die Spalten oder Zeilen einer Matrix linear abhängig sind, dann bedeutet dies, dass es unendlich viele Lösungen für das LGS gibt. Betrachte folgendes LGS:
A*x = b
mit Lösungsvektor x, Matrix A und Anregungsvektor b. Sei A von der Form:
A = ( a1 | ... | an )
wobei ai der i-te Spaltenvektor von A sei. Wir wollen nun annehmen, dass m dieser n Spaltenvektoren durch die übrigen n - m als Linearkombination dargestellt werden können (--> Die Spalten sind linear abhängig). Wir wollen nun annehmen, dass die ersten m Spaltenvektoren dargestellt werden können durch den Rest. Es gilt also:
Es existieren Zahlen ki aus IR mit nicht allen ki identisch 0, so dass gilt:
k1*a1 + ... + km*am + k(m+1)*a(m + 1) + ... + kn*an = 0
Wir können dies auch als ein Vektor-Matrix-Produkt schreiben:
(a1 | ... | an )*(k1, ... , kn)^T = (0, ... , 0)^T
oder kurz
A*k = 0
Dies gilt auch wenn wir beide Seiten mit einem beliebigen Skalar s aus IR multiplizieren
A*(s*k) = s*0 = 0
Angenommen wir kennen ein x, welches die obige Gleichung löst (x ist also ein partikuläre Lösung) so folgt:
A*x = b
Aber aufgrund der linearen Abhängigkeit der Spalten von A gilt ebenfalls
A*x + A*(s*k) = b + 0 = b
Und durch zusammenfassen
A*(x + s*k) = b
somit ist x + s*k also auch eine Lösung für das LGS. Wie oben ersichtlich ist der noch freie Parameter s beliebig wählbar. Da unendlich viele Werte für s möglich sind (Werte aus ganz IR !!!) existieren damit also auch unendlich viele Lösungen.
ok warum hat dann mein Lehrer für beta 1 für y = 1 und für alpha = -2 raus?
Wenn die Vektoren als Vektoren linear abhängig sind, gibt es tatsächlich unendlich viele Möglichkeiten, den Nullvektor darzustellen.
Leider hat der Professor da was übersehen. In der Aufgabe steht etwas von Punkten, d. h. die Vektoren sind offensichtlich Ortsvektoren. Damit müssen wir alle affinen Abbildungen zulassen, ohne dass sich bei der Kollinearität etwas ändern darf. Insbesondere bei Verschiebungen.
Wenn {(-3;1;0), (2;-1;-2), (3;2;-1)} auf einer Geraden liegen, dann auch
{(0;0;0), (2-(-3);-1-1;-2-0), (3-(-3);2-1;-1-0)}
={(0;0;0), (5;-2;-2), (6;2;-1)}
Diese Vektoren sind offensichtlich linear abhängig (das System enthält den Nullvektor), aber die Punkte, die durch diese Vektoren dargestellt werden, liegen nicht auf einer Geraden.
Drei (oder mehr) Punkte liegen auf einer Geraden dann und nur dann, wenn die Differenzen ihrer Ortsvektoren kollinear sind.
ok warum hat dann mein Lehrer für beta 1 für y = 1 und für alpha = -2 raus?
beta = 1 hat er nicht herausbekommen, sondern willkürlich festgelegt. Da das Gleichungssystem keinen festen Wert für beta liefert, kann man hierfür einen beliebigen Wert ungleich 0 frei wählen. Aus diesem Wert ergeben sich dann die anderen Werte.
Ebenso hätte er gamma oder alpha festlegen können.
Aber auch wenn in diesem Fall das Ergebnis stimmt - die drei Punkte liegen auf einer Geraden - so ändert das nichts daran, dass er das falsche Gleichungssystem gelöst hat.
Hmm ok wie würde ich des denn im Taschenrechner machen also willkürlich irgendwelche werte festlegen damit er den Rest berechnet
Ich würde den "Rang" der Matrix berechnen lassen, falls der Taschenrechner das kann.
Oder versuchen,
a + r * (b-a) = c
nach r auflösen zu lassen. Wenn b ungleich a ist und es eine Lösung gibt, liegen die Punkte auf einer Geraden. Wenn b ungleich a ist und es keine Lösung gibt, liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. Wenn b gleich a ist,
b + r * (c-b) = a
betrachten. Dafür ist r = 0 eine Lösung.
ok warum hat dann mein Lehrer für beta 1 für y = 1 und für alpha = -2 raus?