Wie finde ich die Taylorreihe von Sinus oder Cosinus?
Ich beschäftige mich zur Zeit etwas mit den Taylorreihen und habe bemerkt, dass es eine Taylorreihe zur sinx und cosx Funktion gibt. Dennoch frage ich mich: wie findet man diese beiden Taylorreihen?
Ich kenne sie zwar schon, dennoch will ich nur wissen wie man darauf kommt.
3 Antworten
Hier die allgemeine Formel zur Berechnung jeder Taylorreihe
Gefunden bei wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
Beispiel: Sinusfunktion
Du entscheidest Dich für einen möglichst einfachen Entwicklungspunkt a=0 und berechnest nun alle Ableitungen um diesen Entwicklungspunkt und natürlich die Stammfunktion selbst
f(a) = f(0) = sin(0) =0
f'(a) = f'(0) = cos(0) = 1
f''(0) = -sin(0) = 0
f'''(0) = -cos(0) = -1
f''''(0) = sin(0) = 0
f'''''(0) = cos(0) = 1
Man erkennt eine Bildungsgesetz und kann die Werte nun in die Taylorformel einsetzen und gewinnt
Die Ableitung von sin und cos (und mehr braucht man für die Taylorreihe nicht) erschließt man sich z.B. über die Additionstheoreme. Ist der Zyklus sin -> cos -> -sin -> -cos erst bekannt ist es nur noch einsetzen.
Sie haben erwähnt, dass man die Ableitung von Sinus und Cosinus nicht braucht, dennoch ist der Zyklus ja eine wiederholte ableitung also Σf^(n)(x) was genau das das selbe ist, oder verstehe ich etwas falsch?
Sie haben erwähnt, dass man die Ableitung von Sinus und Cosinus nicht braucht
Nein, das habe ich nicht geschieben. Und ich bin noch nicht so alt dass ich im Internet gesiezt werden muß.
Mein Fehler habe die Klammern falsch gelesen
Hier wird die Herleitung einmal komplett durchexerziert:
Ist es aber nicht automatisch die wiederholte Ableitung?