Wie erkenne ich die Basisvariable in einer Matrix?
Hallo,
bei der folgenden Aufgabe (siehe Anhang) will ich die Anzahl der Basisvariablen wissen. Wie erkenne ich das? ist das einfach herauszufinden?
LG und Danke im Voraus
1 Antwort
Formst Du ein Gleichungssystem in eine Matrix um, repräsentieren die vorderen Spalten die Variablen, und die letzte Spalte das Ergebnis.
Um an die Lösung(en) zu kommen, wird ab der zweiten Zeile "versucht", führende Nullen zu bilden, um an die gewünschte Stufenform zu kommen.
Ist auch das erledigt, dann sind all diejenigen Variablen Basisvariablen, die in Ihrer Zeile nur Nullen voraus haben.
Für Dein Beispiel:
Die Variable der Zeile 1 ist immer eine Basisvariable. In Zeile 2 ist erst an dritter Stelle ein Wert ungleich Null, d. h. diese Variable ist ebenfalls eine Basisvariable; die Variable aus Spalte 2 hingegen nicht; hier hast Du nur in Zeile 1 einen Wert ungleich 0 und da steht ebenfalls eine Zahl ungleich 1 davor; dies ist eine freie Variable. Für die 4. Variable gibt es auch keine Zeile in der hierfür ein Wert ungleich Null mit führenden Nullen ist.
D. h. hier gibt es nur 2 Basisvariablen.
Da in der letzen Zeile 0=beta steht, gibt es hier entweder gar keine Lösung (wenn beta<>0 ist) bzw. unendlich viele Lösungen (wenn beta=0 ist).
Kommst Du in einer Spalte auf eine "Stufenzahl" mit führenden Nullen, so kannst die vorhergehenden Zeilen so "manipulieren", dass in dieser Spalte außer der Stufenzahl selbst nur noch Nullen stehen; d. h. diese Variable würde beim Umschreiben zurück in Gleichungen in keiner anderen Gleichung mehr auftauchen; freie Variablen hingegen wohl...
Rechnest Du in Deinem Beispiel I)-5 * II) so erhälts Du für Zeile I):
a b c d
1 8 0 -35 | -28
dann als Gleichung geschrieben und nach a umgestellt:
a=-8b+35d-28
c= -6d+7
a und c sind die "Basis" und b und d sind frei wählbar...