Matrix, Rang, Kern, Bild?
Hallo zusammen,
weiß jemand wie diese Aufgabe zu lösen ist?
2 Antworten
a)
Der Rang einer quadratischen Matrix entspricht der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten). Hierzu benutzte das Gaußverfahren für das System Ax = 0 und bringe das LGS auf obere Dreiecksform. Die Gesamtzahl der Zeilen minus die Anzahl der so erhaltenen Nullzeilen entspricht dann dem Rang der Matrix. Die Alternative ist die Methode des "scharfen Hinsehens", hierbei überprüft man, wieviele Spalten- (oder Zeilenvektoren) man durch gewichtete Addition der anderen darstellen kann. Anschließend gilt nach Definition, dass der Rang der Anzahl der Spalten- (oder Zeilen-) Vektoren entspricht, welche nicht als gewichtete Summe der anderen darstellbar waren.
b)
Es gilt für quadratische Matrizen A mit Dimension n x n:
n = ker(A) + rank(A)
Wobei rank(A) der Dimension des Bildes von A entspricht.
c)
Die Basis des Bildes von A ist gegeben durch die linear unabhängigen Spaltenvektoren. Eine Basis für den Kern von A ist durch die restlichen Spaltenvektoren gegeben. Diese Basis muss dann allerdings nicht minimal sein, kann also linear abhängige Basisvektoren enthalten ... .
Zu a): Der Rang von A ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen von A. Also: A auf Zeilenstufenform bringen und schauen, wie viele Nullzeilen du bekommst. Dann rechnest du 4 minus diese Anzahl und hast den Rang.
Zu b): Schon vom Rangsatz gehört? Mit a) und der Gleichheit dim(Bild(A))=Rang(A) ist die Aufgabe geschenkt.
Zu c): Wenn man A als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung f(x)=A*x zwischen zwei Vektorräumen V und W auffasst, so erzeugen die Spalten von A den Bildraum von f. Damit hast du schon ein Erzeugendensystem des Bildes und musst nur noch auf die lineare Unabhängigkeit prüfen.
Den Kern kannst du ja per Hand ausrechnen; jeder Vektor x, der A*x=0 erfüllt, liegt im Kern. Du musst also ein homogenes Gleichungssystem lösen. Der Lösungsvektor lässt sich dann als lineare Hülle (oder Span(n), je nachdem wie ihr es genannt habt) von Vektoren schreiben und die Vektoren, die diese Hülle bilden, bilden auch eine Basis des Kerns.
Nein. Beachte, dass sich bspw. die erste Zeile der Matrix als Summe der anderen Zeilen darstellen lässt. Addiere einfach mal die Zeilen 2, 3 und 4. Du wirst die Zeile 1 erhalten. Damit ist der Rang nicht voll und der Kern hat wenigstens die Dimension 1.
Hmmm dann sollte in der Stufenform eine Zeile wegfallen ?
Jup. Wenn du die Zeilen 2 bis 4 allesamt addierst, erhältst du Zeile 1. Damit ist dim(Bild(A))=2 und damit dim(Ker(A))=1.
Kann es sein dass dim(Kern A) = 0 ist ?