Unendliche Reihen nicht kommutativ Beweis?
Hallo!
Kennt irgendjemand den Beweis dafür, dass Unendliche Reihen nicht immer kommutativ sind? Also als Beispiel:
a1+a2+a3+a4+a5+... = Zahl
Aber Bernhard Riemann hat bewiesen, dass das Kommutativgesetz bei unendlichen Reihen nicht gilt.
Also:
a1+a2+a3 ist ungleich a2+a1+a4+a3+a6+a5+...
Wie kann man das beweisen?
Ich habe leider überall kommunikativ statt kommutativ geschrieben. Mein Computer will mich manchmal korrigieren.
3 Antworten
Das heißt Kommutativgesetz, nicht Kommunikativgesetz.
Und ehrlich gesagt bin ich zu faul, dass hier abzuschreiben, weil es da so schön beschrieben wird:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Umordnungssatz_f%C3%BCr_Reihen
Danke, dass du mich auf den Fehler hinreißt! Mein Computer versucht manchmal meine Wörter zu korrigieren. Das kann er leider nicht so gut.
Vielen Dank!
Erst einmal sollte es „kommutativ“, nicht „kommunikativ“ lauten.
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Des Weiteren gibt es in diesem Zusammenhang den Riemann'schen Umordnungssatz...
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz
Laut diesem Umordnungssatz liegt bei bedingt konvergenten Reihen keine Kommutativität vor. Im Gegenteil: Man findet dann zu jeder reellen Zahl eine Umordnung, sodass die umgeordnete Reihe dann diese reelle Zahl als Grenzwert hat.
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Im Wikipedia-Artikel findest du auch eine Begründung...
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz#Begr%C3%BCndung
... und ein Beispiel...
https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher_Umordnungssatz#Beispiel
So ist beispielsweise...
Durch Umordnung der Summanden kann man jedoch beispielsweise...
... erhalten, was nicht mehr gleich ln(2) wäre, sondern nur noch halb so groß wäre.
a1+a2+a3 ist ungleich a2+a1+a4+a3+a6+a5+...
Das ist falsch. Du musst unendlich viele Glieder vertauschen. Wenn du endlich viele Glieder vertauscht, bleibt der Wert der Reihe gleich.
Nach dem riemannschen Umordnungssatz gilt:
Wenn eine Reihe Konvergent ist, aber nicht absolut Konvergent, existiert Für jede reelle Zahl S eine Permutation der Glieder, sodass dessen Reihe gegen S konvergiert.
Eine Konstruktion und eine Begründung findest du hier:
Es war auch nicht auf das fehlende ... Bezogen.
Wenn a_1+a_2+a_3+... Gegen den Wert a konvergiert, so konvergiert auch a_2+a_1+a_3+... Gegen a.
Ich meinte mit dem ... aber auch, dass ich jetzt unendlich oft die Zahlen vertausche.
Also:
a2+a1+a4+a3+a6+a5+a8+a7+a10+a9+a12+a11+a14+a13+...
Du kannst auch beweisen, dass beide Reihen den selben Wert haben.
Danke! Ich habe das ... hinter a1+a2+a3 vergessen.