Supremun und Infimum von einer cos/sin Funktion?
Hi ihr Lieben,
ich würde gerne wissen, wie man das Supremum und Infimum (falls existiert) von dieser Funktion berechnen kann.
D(f)=[0,2pi]
f(x)=cos(x)+sin(x)
Ohne Taschenrechner scheint mir das irgendwie unmöglich. Geht das ohne Taschenrechner?
2 Antworten
Wie von @Jangler bereits erwähnt, sind Supremum und Infimum identisch mit dem Maximum und Minimum.
f(x) = cos(x) + sin(x)
f'(x) = cos(x) - sin(x)
f''(x) = -cos(x) - sin(x)
###
f'(x) = 0 für cos(x) = sin(x)
Lösung x = v(n) = pi/4*(4*n + 1), n € Z
Um TP und HP zu unterscheiden, die Lösung in die zweite Ableitung einsetzen
f''(v) = -cos(v) - sin(v)
dabei zu betrachten:
cos( v(n) ) = cos( pi/4 ) für n gerade
cos( v(n) ) = cos( 5pi/4 ) für n ungerade
sin( v(n) ) = sin( pi/4 ) für n gerade
sin( v(n) ) = sin( 5pi/4 ) für n ungerade
Wegen
cos(pi/4) = sin(pi/4) = +1/wurzel(2)
cos(5pi/4) = sin(5pi/4) = -1/wurzel(2)
gilt
f''( v(n) ) < 0 für n gerade
f''( v(n) ) > 0 für n ungerade
###
Die TP liegen somit bei v mit n ungerade
f(v) = cos(v) + sin(v) = -2/wurzel(2) = -wurzel(2)
Die HP liegen somit bei v mit n gerade
f(v) = cos(v) + sin(v) = 2/wurzel(2) = +wurzel(2)
Da die Funktion stetig ist, und das Intervall kompakt, nimmt die Funktion auf dem Intervall ein Minimum und ein Maximum an. Es reicht also wenn du das globale Maximum/Minimum der Funktion bestimmst (also klassische Extremwertsuche)
Aber ohne Taschenrechner ist das doch kaum möglich das zu berechnen. Die Lösung habe ich berechnet, aber nur mit Taschenrechner.
Die erste Ableitung ist cos(x)-sin(x)
Die ist 0 wenn cos(x)=sin(x) gilt. Da beide Seiten nie gleichzeitig 0 sind ist das äquivalent dazu dass sin(x)/cos(x)=tan(x)=1
Danke für die Mühe.