Hebbare Definitionslücke?
Hallo,
ich hätte eine Frage zu e-Funktionen:
Wenn man die Grenzwerte der Funktion f(x)= e^(1/x) an den Rändern ihres Definitionsbereiches berechnet, bekommt man ja für lim(x->0+) f(x) den Grenzwert "+Unendlich" und für lim(x->0-) f(x) den Grenzwert 0.
Meine Frage ist jetzt, ob bei x=0 dann gleichzeitig eine senkrechte Asymptote und eine hebbare Definitionslücke, d.h. ein Loch, ist, und wenn ja, wo lässt sich die 0 dann rauskürzen, weil es bei gebrochen rationalen Funktionen ja auch so ist, dass die Funktion ein Loch bei x=0 hat, wenn sich der Faktor (x-0) bzw. (x+0) rauskürzen lässt.
Danke im Voraus.
LG
5 Antworten
Also.....
Dein linksseitiger Grenzwert gegen 0 ist 0 und dein rechtsseitiger Grenzwert ist +unendlich
Dementsprechend bedeutet das, dass bei 0 eine Polstelle vorliegt, da du dich ja von rechter Seite gegen unendlich annäherst (Stichwort: Unstetigkeit)
Nimm als Beispiel die Funktion
f(x) = x/x x= 0 ist nicht definiert .
das ist eine behebbare Lücke
f(x) = 1 für alle x ungleich 0
und
f(0) = 1
wenn bei einer der beiden x e als Betrag auftaucht gibt es als Grenzwerte 1 und -1 da könnte man definieren, f(0) = 0, da es zwischen 1 und -1 liegt, aber da ist halt ein Sprung und keine Lücke.
Die Funktion ist an der Stelle x = 0 weder stetig noch unstetig, sondern nicht definiert. Es befindet sich dort auch keine hebbare Definitionslücke, da sich linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert unterscheiden.
Von rechts hat man eine senkrechte Asymptote und von links geht die Funktion gegen 0. Aber man hat keine hebbare Definitionslücke. Man kann die Funktion nicht stetig fortsetzen. Man hat auch keine Polstelle. In der komplexen Analysis nennt man das "Wesentliche Singularität".
Man kann diese Funktion als Laurent-Reihe entwickeln, nämlich
Bei einer gebrochen rationalen Funktion gäbe es nur endlich viele Summanden (≠ 0), aber hier hat man unendlich viele Summanden und die Exponenten im Nenner werden immer größer. Bei den Funktionen 1/xⁿ geht der Wert von links abwechselnd nach + und - Unendlich und von rechts immer gegen + Unendlich. Das abwechselnde + und - unendlich lässt die Reihe von links gegen 0 streben und das + unendlich lässt die Reihe von rechts gegen + unendlich streben. Wenn man nicht nur reelle Zahlen einsetzen würde, würde die Funktion an der Stelle unendlich oft und stark schwingen. Zu dieser Klasse von Definitionslücken gehören auch die von sin(1/x). Hier sind unendliche viele Schwingungen um 0 zu sehen und man kann von keiner Seite einen Grenzwert einschließlich Unendlich oder - Unendlich bestimmen. Bei sin(1/x)/x würde auch die Amplitude ins Unendliche gehen.
Du kannst also Deine Funktion als Funktion mit unendlich großen Exponenten im Nenner sehen. Hier heben sich die Summanden von links gegenseitig auf.
Ich denke, das ist keine behebbare Lücke, sondern eine Unstetigkeitsstelle, da der Limes von der -Seite etwas anderes ergibt alsder von der +Seite