Wie berechnet man diese Extremwertaufgabe?
In einen Kreis mit Radius r soll das größte gleichschenklige Dreieck einbeschrieben werden. Wie groß ist x (ohne Prüfung der hinreichenden Bedingung) und wie groß ist die Dreiecksfläche?
Vielen dank im Voraus! :)
2 Antworten
Also der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit 1/2*a*h
Die Höhe sieht man direkt, sie ist r+x
Für die Grundseite betrachtest die Kreisgleichung:
x^2+y^2=r^2
Du siehst, dass die beiden rechten Eckpunkte auf dem Kreis liegen, weswegen die Kreisgleichung hier zutrifft.
da x und r vorgegeben sind, kannst du nach y auflösen:
y=±sqr(r^2-x^2)
Da du aber die Breite der Seite brauchst, musst du es Mal 2 rechnen.
Wenn du das ganze einsetzt bekommst du:
1/2*sqr(r^2-x^2)(r+x)
Das leitest du wie gewohnt nach x ab und bestimmst die extremstellen
Indem Du eine Formel für die Dreiecksfläche in Abhängigkeit von c aufstellst.
Dann berechnest Du die Ableitung nach c um den Extremwert zu bestimmen.
Herauskommen sollte, dass die gößte Fläche beim gleichseitigen Dreieck erreicht wir, dessen Umkreis der Kreis ist.