Dreieck aus drei Winkeln zu gegebenem Umkreis konstruieren?
Hallo,
bei der Beantwortung einer anderen Frage ist mir dieses Problem gerade gekommen:
Ich hab die drei Winkel eines Dreiecks gegeben und den Radius des zugehörigen Umkreises. Jetzt soll ich das entsprechende Dreieck konstruieren.
Bei rechtwinkligen oder gleichschenkligen Dreiecken ist das ja kein Problem.
Aber geht das auch bei allgemeinen Dreiecken?
4 Antworten
Du hast den Kreisradius r gegeben, sowie die drei Innenwinkel, welche ich im Folgenden mit α, β, γ bezeichne. Die Eckpunkte des Dreiecks bezeichne ich (entsprechend üblicher Standardbezeichnung) mit A, B, C. Den Mittelpunkt des Umkreises bezeichne ich mit M.
Die folgende Konstruktion nutzt aus, dass nach Kreiswinkel-Satz bei einem Kreisbogen der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) doppelt so groß ist wie die Umfangswinkel (Peripheriewinkel). Im konkreten Fall ist also der Zentriwinkel ∡AMB = 2γ doppelt so groß wie der Peripheriewinkel ∡ACB = γ.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz_(Zentriwinkelsatz)
[Da du γ gegeben hast, hast du auch 2γ, da man zur Konstruktion von 2γ einfach den Winkel γ zweimal abtragen kann.]
- Markiere einen beliebigen Punkt und nenne diesen M.
- Zeichne einen Kreis um M mit dem vorgegebenen Radius r.
- Markiere einen beliebigen Punkt auf dem Kreis und nenne diesen A.
- Zeichne die Strecke [MA].
- Trage den Winkel 2γ (entgegen dem Uhrzeigersinn) von der Strecke [MA] ausgehend bei M ab und bezeichne den Schnittpunkt des so entstehenden Strahls mit dem Kreis als B. So dass dann also ∡AMB = 2γ ist.
- Trage den Winkel β (im Uhrzeigersinn) von der Strecke [BA] ausgehend bei B ab und bezeichne den Schnittpunkt des so entstehenden Strahls mit dem Kreis als C. So dass dann also ∡CBA = β ist.
- Zeichne die Strecken [AB], [AC], [BC] ein, um das Dreieck ABC zu vervollständigen.
Danke für die schöne Erklärung. Dachte ich mir doch, dass das irgendwie sauber gehen muss und nicht nur durch Ausprobieren zu lösen ist.
Um es mal zu verdeutlichen für die Winkel 100°, 50°, 30°.
Ich hab hier mal auf verschiedene Möglichkeiten den Winkel mit 100° eingezeichnet zu dem gegebenen Umkreis:
Die Schnittpunkte der jeweiligen Seiten mit der Kreislinie legen jetzt ja das Dreieck eindeutig fest, damit es den passenden Umkreis hat. Ich kann ja jetzt nicht einfach an ner zweiten Ecke den zweiten Winkel abtragen, sonst schneidet es die andere Gerade ja außerhalb der Kreislinie und hätte damit dann einen anderen Umkreis.
Es gibt eben nur genau eine richtige Möglichkeit (das braune Dreieck), wie ich den 100°-Winkel einzeichnen kann, damit die anderen beiden Winkel dann passen, die sich damit ergeben.
Aber wie finde ich die, ohne das am PC einfach solange hin- und herzuschieben, bis es passt, durch ne saubere Konstruktion? Das ist meine Frage.
Die Antwort von mihisu ist natürlich perfekt, das ist das "beste" Verfahren.
Auf die Schnelle wäre mir eine andere Möglichkeit eingefallen:
- Konstruiere´zunächst ein Hilfs-Dreieck beliebiger Größe mit den gegebenen Winkeln, und
- konstruiere dessen Umkreis - bzw. eigentlich nur den Mittelpunkt dieses Umkreises, den Kreis selber brauchst Du gar nicht.
- Zeichne nun um diesen Mittelpunkt den in der Aufgabenstellung gegebenen Umkreis und
- konstruiere die 3 Halbgeraden vom Mittelpunkt durch die 3 Ecken des Hilfs-Dreieckes aus Schritt 1.
- Die Schnittpunkte dieser Halbgeraden mit dem Umkreis aus Schritt 3 sind die Ecken des gesuchten Dreieckes.
Du musst von allen drei Ecken eine Linie ziehen und der Pinkt, wi sich alle treffen ist dir Mitte, des Kreises und wie man einen Kreis zeigt ist ja bekannt.
Ich will nicht zu einem gegebenen Dreieck den Umkreis konstruieren, sondern ich will aus den drei Winkeln und aus dem Radius des Umkreises das Dreieck konstruieren. Also umgekehrt quasi. Und das Problem bei drei Winkeln ist ja, dass die Dreiecke nicht eindeutig zeichenbar sind, da man sie eben beliebig skalieren kann.