Wie berechnet man den Sin,Cos,Tan ohne Taschenrechner?
Na, ihr coolen Socken! Wieder habe ich eine Frage.
Um meine Situation zu erklären: Letze Stunde dachte sich mein Lehrer ein neues Thema anzufangen; Trigonometrie. Es hab Blätter, in denen erklärt wurde, was Gegen-,An-Kathete und so sind und wie man das ganze Zeug in den Taschenrechner eingibt und Blabla. Aufgaben dazu, die ich auch lösen konnte. Kein Problem.
Ich möchte aber verstehen. Ich kann das Thema zwar anwenden, aber verstanden habe ich nichts. Ich weiß nicht, warum ich das rechne, was ich rechne. Es würde mir sehr helfen, wenn mir jemand sagen könnte, wie man einen Winkel ausrechnet ohne dabei den Taschenrechner zu beanspruchen. Mit Tabellen? Oder wie?
4 Antworten
Einen Sinus kann man auch direkt ausrechnen:
sin x = x - x³/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
Tabellenwerke gibt es seit Jahrzenten nicht mehr.
Zum Verständnis vom Sinus - Wenn Du Dir einen Kreis um den Koordinatenursprung mit dem Radius 1 vorstellst:
Der Sinus f ist der Abstand zwischen X-Achse und Schnittpunkt von Kreis und einem Strahl, der mit dem Winkel f zur X-Achse vom Koordinatenursprung ausgeht.
Beim ersten mal Durchlesen, dachte ich "Warum tust dir das eigentlich an?" Hahaha danke für die Antwort:D Ob ich das verstehe? Ich gebe mir Mühe :3
cos(x) und tan(x) sind nur "Nebenfunktionen von sin(x)" und haben wegen der Schreibfaulheit der Menschen einen eigenen Namen bekommen:
cos(x)=sin(x+Pi/2)
tan(x)=sin(x)/cos(x)
Alles unter http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm
Über Trigonometrische Gesetze kann man zig feste Wurzelwerte bestimmen.
Für "krumme reelle Zahlen" kann man z.B. mit Summen-Algorithmen beliebig genau berechnen. Am Ende der Seite ist ein LINK zum online Iterationsrechner, der zeigt, wie man das mit Grundrechenarten macht.
Fak(x) = x! = 1 * 2 * 3 * .... * x
Hi :)
Für einige Winkel gibt es tatsächlich Werte, die man sich gut merken kann:
http://www.dms.uni-landau.de/roth/dynageo/trigonom/sin_cos_tan_wertetabelle.jpg
So, rein intuitiv würde ich nun folgendes machen:
sin(Alpha) = GK/H
Alpha = sin^(-1) (GK/H)
= 1/(GK/H)
= H/GK
So, macht natürlich nicht so viel Sinn...
Ich würde dann irgendwie mit dem Einheitskreis arbeiten oder gleich direkt mit der Sinusfunktion. Du misst nur wissen:
- Bei x = 0, Pi, 2*pi etc. hat der Graph Nullstellen! Eine Periode beträgt 2*pi.
- bei der Sinusfunktion sind die Hochpunkte bei x = pi/2, 5*pi/2, 9*pi/2 etc.
- Die Tiefpunkte liegen bei x = 3*pi/2, 7*pi/2, 11*pi/2 etc.
- die Kosinusfunktion ist sin(x+pi/2)
So, nun muss man noch wissen:
Pi sind 180° im Bogenmaß, 2*pi sind logischerweise 360°. Willst du nun einen Winkel mit dem Sinus oder Kosinus bestimmen, machst du es dir ganz einfach: Du dividierst die beiden Werte durcheinander. Das kann man auch schriftlich. Nun kannst du dann den Wert erhalten. Den suchst du eben auf der y-Achse (!) und liest den dazugehörigen Wert ab. Das rechnest du wie folgt in das Gradmaß um:
Alpha = 360°/(2*pi)*Theta (Theta ist dabei die Angabe im Gradmaß, Pi fällt so meist weg)
Wenn du klug bist, machst du die Skalierung der x-Achse einfach im Gradmaß :)
Beim Kosinus gehst du genauso vor. Beim Tangens würde ich es so machen:
- Dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras ermitteln, sofern ihr mit rechtw. Dreiecken arbeitet
- Anschließend den Sinus UND den Cosinus ermitteln
- Dann Sinus durch Cosinus teilen, den Beweis erspar ich mir jetzt (auch, wenn er sehr simpel ist).
So, ich hoffe, ich habe um 22 Uhr nicht kompletten Müll geredet - ich hoffe, es hat geholfen :)
Ich verstehe nur nicht, warum ihr keinen TR benutzen dürft...
LG ShD
Hey doktoreinstein,
wir selber machen gerade das selbe Thema in MAthe, nur wir rechnen alles mit dem Taschenrechner. Sinus von einem Winkel ist ja das Verhältnis von Gegenkathete/Hypothenuse. Das heißt wenn du einen Winkel von zum BEispiel Alpha=35° hast und eine Gegenkathete mit der Länge 10 cm musst du das in die Formel einsetzten: sin35°=10/Hypothenuse. Dann kannst du das ganze umstellen, so dass du nur noch die HYpothenuse gegeben hast: Hypothenuse=10/sin35°
VErstanden?
Ich hoffe ich konnte helfen. Viel Glück noch!
LG Chemie1012
Genau! Aber dies würde ich in den Taschenrechner eingeben. Und hätte ein Ergebnis. Wie muss ich das rechnen OHNE TASCHENRECHNER? ._.
Danke! Meinerseits; versuche ich gar nicht um die Uhrzeit zu verstehen, was du jetzt geschrieben hast, aber morgen vor der Schule bestimmt:D
Wir dürfen und sollen den Taschenrechner benutzen. Ich will das wirklich nur wissen, weil's für's Verständnis hilft. Ich möchte es für mich wissen :)
Einmal verstanden, immer verstanden.