Wie berechne ich etwas mittels geometrischer Summenformel?
Benötige Hilfe bei der Berechnung einer Summe mit Hilfe der geometrischen Summenformel (
) Man muss doch irgendwie nach q^k umstellen oder ? Verstehe leider nicht wie ich das in diesem Fall machen soll...
Ich würde mich über einen Hinweis sehr freuen!
4 Antworten
Einfach zerlegen in mehrere Teilsummen. Der Summand lässt sich bspw. schreiben als:
Summand = 4*(2^k)/(6^(k-1)) - 5*(9^(k+1))/(6^(k-1)) + 3
Nun beachte das gilt: a^(k + m) = a^k * a^m
sowie: (a^k)/(b^k) = (a/b)^k
Und man kann dann die geometrische Summenformel auf die ersten beiden Teilsummanden anwenden. Für den letzten gilt diese nicht, da q = 1 wäre und der Ausdruck somit nicht definiert ist. Hier hat jedoch einfach n-mal einen konstanten Faktor aufsummiert, damit ist die Summe ebenfalls ohne zusätzliche Formeln berechenbar ... .
Hallo,
Du kannst k=12 direkt in die Summenformel 48-12*(1/3)^k-810*(3/2)^k+810 einsetzen, um auf die Summe zu kommen.
Um die Formel zu entwickeln, habe ich die +3 in Form von 3k als Summand vor die Summe gestellt, danach den verbleibenden Bruch hinter dem Summenzeichen geteilt, ein wenig mit den Exponenten gespielt und die Summenformeln der Summen des geteilten Bruchs ermittelt.
Kannst ja mal ein wenig herumprobieren.
Herzliche Grüße,
Willy
Kleine Korrektur:
Statt 48 am Anfang (paßt nur bei k=12), muß es 3k+12 lauten.
Theoretisch brauchst du gar nichts umstellen, sondern nur noch den Iterationszähler einsetzen.
Ich kann a) weder deine Frage genau verstehen, noch b) verstehe ich die Antworten der anderen, weil ich nicht weiß, was du a) genau berechnen willlst, noch b) ob die Antworter mehr wissen, wenn sie mit Zahlen rechnen, oder ob das Beispiele sein sollen.
Hier mal ein Anwendungsbeispiel:
Du zeichnest eine 10 cm lange Linie nach rechts, knickst dort um 90 ° nach links ab (also nach oben), zeichnest nach dort eine 80 % so lange Linie nach oben, also 8 cm, drehst dich wieder nach links, zeichnest wieder eine 80 % vom letzten Wert lange Linie, also 6,4 cm lang, drehst dich wieder nach links, jetzt eine 51,2 cm lange Linie nach unten usw. Das ergibt eine Viereck-Spirale, bei der die Linien im weiteren Verlauf immer näher aneinander rücken.
a) Wie lang ist der gesamte Linienzug nach 5 Umläufen, also 20 Teilstrecken?
b) Wann war der Linienzug länger als 30 cm?
c) Zeige, dass der gesamte Linienzug nie länger also 50 cm werden kann.
Zu a) Du musst addieren: S40 = 10 + 8 + 6,4 + ...bis zum 20. Summanden = 10(1+0,8+0,64+0,521 + ...) = 10 (0,8^0 + 0,8^1 + 0,8^2 + ...0,8^19). Das sind 20 Glieder, da man mit ^0 anfängt. Anstatt nun lange auf dem Taschenrechner herumzuspielen, berechnest du nun mit Hilfe der Summenformel
10*(1-0,8^20)/(1-0,8)= 49,42354 cm.
Zu b) 10*(1-0,8^n)/(1-0,8)>30 führt auf 50*(1-0,8^n)>30 oder 1-0,8^n>0,6 oder 0,4>0,8^n oder log(0,4)>n*log(0,8) oder log(0,4)/log(0,8)<n (Achtung: das >-Zeichen dreht sich um, weil du durch den negativen Wert von log(0,8) teilst) oder n>4,1, also ab der 5. Linie.
Zu c) Wenn es unendlich viele Streckenzüge würden, würde 0,8^unendlich=0 werden, und die Gesamtstrecke wäre 10*(1-0)/(1-0,8)=50