Wie Berechne ich die Schnittmenge dieser gemeinsamer Dichte zweier Variablen?

Die Randdichte von X konnte ich ausfindig machen: f_x(x) = 2 / (x+1)^2, nun meinte ich das Doppelintegral über dx, dy ausrechnen zu müssen, jedoch endet man dann mit einer negativen Wahrscheinlichkeit. Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit dieser Schnittmenge aus ?

Answer 1

[mihisu]

Das mit dem Doppelintegral ist schon richtig. Da hast du dich evtl. einfach verrechnet, wenn du das einen negativen Wert erhältst.

$\int\limits_{y=1}^{y=3}\int\limits_{x=1}^{x=2} f_{X, Y}(x, y)\,\text{d}x\,\text{d}y$

$=\int\limits_{y=1}^{y=3}\int\limits_{x=1}^{x=2} 4\cdot{(x+y)}^{-3}\,\text{d}x\,\text{d}y$

$=\int\limits_{y=1}^{y=3}\left[(-2)\cdot{(x+y)}^{-2}\right]_{x=1}^{x=2}\,\text{d}y$

$=\int\limits_{y=1}^{y=3}\left((-2)\cdot{(2+y)}^{-2}-(-2)\cdot{(1+y)}^{-2}\right)\,\text{d}y$

$=\int\limits_{y=1}^{y=3}\left((-2)\cdot{(2+y)}^{-2}+2\cdot{(1+y)}^{-2}\right)\,\text{d}y$

$=\left[2\cdot{(2+y)}^{-1}-2\cdot{(1+y)}^{-1}\right]_{y=1}^{y=3}$

$=2\cdot{(2+3)}^{-1}-2\cdot{(1+3)}^{-1}-\left(2\cdot{(2+1)}^{-1}-2\cdot{(1+1)}^{-1}\right)$

$=\frac{2}{5}-\frac{2}{4}-\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{2}\right)$

$=\frac{2}{5}-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+1$

$=\frac{12}{30}-\frac{15}{30}-\frac{20}{30}+\frac{30}{30}$

$=\frac{7}{30}$

Comments

[Mbspiele2]

Wirklich vielen Dank für deine gute und schnelle Antwort! Ja, ich habe mehrmals einen Rechenfehler gemacht.