Wie berechne ich die Aufgabe 5?
Hey, wüsste vielleicht jemand was es mit der Fläche und dem Nullpunkt auf sich hat ? Ich habe zuerst versucht die sin Funktion zu bestimmen, aber das geht nicht so ganz.
Würde mich über Rückmeldung echt freuen.
4 Antworten
Der Gag ist : Man braucht die konkrete Fkt nicht
Es reicht die Form
Psym zu einer Nullstelle und daher ist die weiße Fläche (betragsmäßig) gleich der grauen
.
Als Integral ( nicht als Fläche ! ) ist die weiße aber -2 groß
Daher a ) 0
.
b) -f(x) : an der x-Achse gespiegelt . Das heißt : grau ist unten und weiß oben
Daher -2
.
c)
vertauscht man die Integrationsgrenzen , wird das Integral MAL -1
Daher +2
.
d)
(x-1) ist f(x) um 1 nach rechts verschoben, sonst unverändert
Daher wieder 0 wie bei a)
Daher
Das ist ein Polynom 3. Grades, zumindest der Teil in dem Ausschnitt kann so beschrieben werden. Aber du brauchst hier gar keine funktionsgleichung aufstellen. Jede der Teilaufgaben kann auch so logisch oder rechnerisch bestimmt werden.
Bspw. a) Ergebnis ist 0, da punktsymmeteie zu einem Punkt auf der x-achse zwischen den Grenzen des integral vorherrscht. Folglich heben sich die Flächen oberhalb und unterhalb der x-achse auf.
Ich habe zuerst versucht die sin Funktion zu bestimmen, aber das geht nicht so ganz.
Das ist aber ganz einfach. Da es sich offensichtlich um eine Funktion 3. Grades handelt und man 3 Nullstellen kennt, kann man die Nullstellenform (faktorisierte Forme) ansetzen:
f(x) = a * x * (x - 1,5) * (x - 3) = a * x * (x^2 - 3x - 1,5 x + 4,5)
f(x) = a(x^3 - 4,5x^2 + 4,5x)
Damit lautet die Stammfunktion:
F(x) = a(1/4 x^4 - 1,5 x^3 + 2,25 x^2 + C)
und das Integral von 0 bis 1,5:
A = a(1/4 * (3/2)^4 - 3/2 * (3/2)^3 + 9/4 * (3/2)^2) = 2
a(81/64 - 81/16 + 81/16) = 2
a(81/64 - 324/64 + 324/64) = 2
a * (81/64) = 2
a = 128/81
Lösung:
f(x) = 128/81(x^3 - 4,5x^2 + 4,5x)
F(x) = 128/81 (1/4 x^4 - 1,5 x^3 + 2,25 x^2 + C)
Damit könntest du zwar rechnen, aber das bringt dir nicht viel, weil die Aufgabe durch Überlegung und Verständnis viel schneller in Worten zu lösen ist.
Wenn in einer Aufgabe gefordert wird "Bestimmen Sie", ist die Wahl der Mittel freigestellt. Hauptsache, man kommt auf die Lösung.
Du berechnest nicht die Aufgabe, du löst sie.
Zur Bestimmung der Funktionsgleichung:
Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt f(-x) = -f(x), was wiederum bedeutet, dass die Funktionsgleichung nur x mit ungeraden Exponenten enthält (additive Konstante ist Koeffizient von x⁰, somit gerader Exponent). Bei Punktsymmetrie zu P(1.5 | 0) wird jedes x mit 1.5 subtrahiert.
Da die Funktion zwei Extremstellen hat, ist sie eine Polynomfunktion dritten Grades.
Durch diese zwei Fakten kannst du die allgemeine Funktionsgleichung y=ax³+bx²+cx+d ,,eingrenzen":
f(x) = a(x-1.5)³ + c(x-1.5)
Zum Lösen der Aufgabe benötigst du allerdings keine Funktionsgleichung, da eine symmetrische Fläche sowie Punktsymmetrie zwischen den Flächen gegeben sind, also beträgt die linke Fläche (Intervall 0 bis 1,5) 2 FE und die Rechte (Intervall 1,5 bis 3) -2 FE.
zu a) 2 FE + (-2 FE) = 0
zu b) -2 FE, da die linke Fläche mit -1 multipliziert wird
zu c) Eigentlich -2 FE, aber durch das Umkehren der Integrationsgrenzen ist es nicht mehr F(3) - F(1,5), sondern F(1,5) - F(3), von daher 2 FE
zu d) f(x-1) bedeutet eine Verschiebung von f(x) um 1 LE nach rechts entlang der x-/Abszissenachse, also ist das dieselbe Fläche wie bei a), da das gesuchte Intervall auch um 1 LE nach rechts verschoben ist und sich die Änderungen gegenseitig annullieren.