Wie berechne ich den tiefsten Punkt einer Parabel?
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Mathe Aufgabe:
Das olympische feuer wird von Priesterinnen aus reinem Sonnenlicht entzündet. Aus dem Bild (hier sieht man nur eine Frau welche einen Stab in einen Parabolspiegel hält) kann man abschätzen, dass der Spiegel einen Durchmesser von 60 cm hat. Der Brennpunkt sitzt etwa 10 cm vom tiefsten Punkt entfernt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Spiegelprofils und seine Tiefe rechnerisch.
Hat jemand eine Idee wie man an so eine Aufgabe rangehen sollte ? Bis jetzt habe ich leider keine brauchbaren Ergebnisse.
Ich weiß nur...
- ... dass sich der tiefste Punkt mittig befindet, sprich bei 30cm
- ... dass sich der Brennpunkt durch "tiefster Punkt - 10 cm = Brennpunkt" ergibt
- ... dass sich der tiefste Punkt durch "Brennpunkt + 10 cm = tiefster Punkt" ergibt
Aber wie löse ich mit diesem Wissen jetzt die Aufgabe ? Ich weiß Fragen zu Hausaufgaben sind hier nicht gern gesehen, deshalb ganz deutlich: Ich möchte keine Lösungen, sondern die Aufgabe verstehen.
Danke für alle hilfreichen Antworten.
3 Antworten
Hallo,
schau dir mal folgenden Abschnitt auf Wikipedia an:
https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29#Parabel_als_Funktions-Graph
Dort erfährt man, dass der Brennpunkt einer Parabel der Form y = ax²
die Koordinaten F(0|1/(4a)) hat.
Diese Parabel ist symmetrisch zur y-Achse.
Warum der tiefste Punkt sich "bei 30cm" befindet, sehe ich nicht. (Achso, das ist angegeben. Das kannst du ganz am Schluss regeln, indem du die Parabel nach oben verschiebst).
Wir wissen, dass der Brennpunkt 10cm über dem Scheitelpunkt liegt, das reicht schon. Gesucht ist die Höhe der Punkte P und P' mit der Eigenschaft:
P(-30|h) = P'(30|h)
Die Punkte P und P' liegen also 60 (Einheiten, cm, whatever...) auseinander.
Das reicht an Informationen.
(Aus den Koordinaten des Brennkuntes kannst du a bestimmen, und der Rest ist dann nur noch einsetzen der Zahlen).
Gruß
Okay. Was du machst, ist eigentlich nur eine Normalparabel zusammenknautschen. Dazu entscheidest du bitte als erstes, ob du in Metern , Dezimetern oder in Zentimetern rechnen willst. Wobei sich dm natürlich anbietet, sind handliche Zahlen.
Setz den Tiefpunkt erstmal bei 0/0 fest. Verschieben kannst du später noch.
Und jetzt nimmst du deine Normalparabel mit y=a*x^2 und passt sie so an, dass du bei -3dm und 3dm je bei y=1dm bist. Also einfach deine 3 für x einsetzen und 1 für y. Dann hast du nur noch eine Variable, nämlich a, das bei der Normalparabel 1 ist. Wenn a kleiner ist als 1, wird die Parabel zusammengetaucht, also flacher. Das dürfte das sein was du erreichen willst, denn wenn du in dm gerechnet hast, wird deine Parabei bei +-3dm je 9dm hoch sein, was ja viel zu viel ist. Also nimmst du ein a, mit dem deine Parabel bei +-3dm nur noch je 1dm hoch ist.
Du wirst bei einer Parabelgleichung rauskommen. Wenn du die Parabel noch verschieben willst/musst, einfach die bekannten Regeln anwenden: mit einem +/-c hinten an der Gleichung schiebst du sie um c rauf oder runter. Wenn du statt x einfach eine Klammer mit (x-b) machst, ist sie um b nach rechts, oder um -b nach links verschoben.
Soweit alle Klarheiten beseitigt?
Hallo perocero
Die Parabelgleichung kann man aus der Tatsache bestimmen, dass die gesuchte Parabel an den Stellen, an denen sie die gleiche Höhe wie der Brennpunkt hat, die Steigung 45° (= Steigung 1) haben muss. Dort werden nämlich Strahlen, die senkrecht (parallel zur y-Achse der Parabel) eintreffen, waagrecht zum Brennpunkt gespiegelt.
Aus y = ax² und y' = 2ax bestimmt man zunächst, bei welchem x die Funktion den Wert 10 hat (Höhe des Brennpunkts über dem tiefsten Punkt der Parabel): 10 = ax²; ---> x = Wurzel(10/a).
Dann ermittelt man den x-Wert, bei dem die Parabelfunktion die Steigung +,- 1 hat: +,-1 = 2ax = 2aWurzel(10/a)
Beide Seiten quadriert ergibt: 1 = 4a²(10/a) = 40a; ---> a = 1/40
Die Parabelgleichung lautet damit: y = (1/40)x² (Zahlen in cm)
Es grüßt HEWKLDOe.