Wie berechne ich den Mittelpunkt von einem unregelmäßigen Dreieck?
Ich würde nicht fragen, wenn ich online eine gute Erklär-Webseite gefunden hätte.
Und bitte keine abfälligen Bemerkungen über meinen Wissenstand. Ich habe auch schonmal eine Gruppe von Uni-Studenten getroffen, die mit den Satz des Pythagoras nicht ohne Formelsammlung sagen konnten.
Vektoriell, oder zeichnerisch? Es gibt mehrere Arten von Mittpunkten an Dreiecken. Innenkreis, Außenkreis, Schwerpunkt, Winkelhalbierende...
Zeichnerisch, der Schwerpunkt.
Voraussetzung: Wie ist der Schwerpunkt definiert? Das muss man erst mal wissen - erst dann kann man rechnen! Kennst Du die Definition?
Ich suche den Mittelpunkt zwischen den Strecken Köln - Berlin, Berlin - Freiburg und Freiburg Köln, was ein unregelmäßiges Dreieck ergibt. Kannst du diesen berechnen? Wenn ja, wie?
4 Antworten
Du halbierst jede Seite und zeichnest vom Halbierungspunkt eine Linie zum jeweils gegenüber liegenden Eckpunkt.
Diese drei Schwerlinien schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt.
Wenn du für die Städte an den Eckpunkten deren geographische Koordinaten (Breite und Länge) kennst, dann kannst du näherungsweise auch die arithmetischen Mittel bilden, also etwa:
Breite(S) ≈ ( Breite(K) + Breite(B) + Breite(F) ) / 3
Das stimmt dann zwar nur so ungefähr, denn das geographische Koordinatennetz ist kein euklidisches Netz, einfach auch weil die Erdoberfläche gekrümmt ist.
Für eine exakte Berechnung müsste man recht tief in die Kiste der sphärischen Trigonometrie greifen.
OK, du willst also doch rechnen und nicht zeichnen.
Wenn du die Koordinaten der Eckpunkte A, B, C gegeben hast, dann hat der Schwerpunkt einfach die Koordinaten (A+B+C)/3.
Das gilt natürlich in der Ebene. Da die Erde eine Kugel ist, müsstest du eigentlich sphärische Trigonometrie betreiben, das ist etwas aufwändiger. Aber auch die ebene Variante wird eine recht gute Näherung liefern.
- Köln: 50.9576191,6.8272412
- Berlin: 52.5067614,13.2846508
- Freiburg: 47.9872899,7.7263807
Die Rechnung ergibt:
- (50.9576191+52.5067614+47.9872899)/3 = 50.4838901333
- (6.8272412+13.2846508+7.7263807)/3 = 9.27942423333
Der Schwerpunkt liegt nach dieser Näherung also bei S(50.4838901333,9.27942423333)
- Sorry für die zu vielen Kommastellen, du kannst gerne runden.
- Sorry für den Punkt als Dezimaltrennzeichen
- Ich hoffe, ich habe das richtige Freiburg genommen, es gibt nämlich noch eines.
- Wie gesagt, ich habe die Krümmung der Kugeloberfläche vernachlässigt.
Ja, eine Abweichung von 9,9 Metern ist nicht schlimm, weil Google Maps auch nur Angaben bis auf 10 Meter Genauigkeit macht.
Das ist meine Bezeichnung für den geographischen Mittelpunkt dieser Strecken, wenn diese miteinander vebunden ein Dreieck bilden.
Also Mittelpunkt des Dreiecks (welcher)? Oder Mittelpunkt aller Punkte der Strecken (welcher?)
Gebe erstmal den "Midpoint-Calculator"
Hoffe Du kannst Englisch und Dich reinfinden.
Ja Danke, Englisch liegt mir weitaus mehr als Geometrie.
Aufgrund der Ergänzungen in den Nachfragen vermute ich, dass du den Punkt suchst, der von den drei Orten gleich weit entfernt ist. Das wäre der Umkreismittelpunkt. Den findest du als Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Du meinst offenbar den Schwerpunkt. In einem beliebigen ebenen Dreieck findet man den als den Schnittpunkt der drei "Schwerlinien". Dies sind die Verbindunsstrecken jeweils zwischen einem Eckpunkt des Dreiecks und dem Mittelpunkt der ihr gegenüber liegenden Seite. Also: die Schwerlinie sa geht von dem Eckpunkt A zum Mittelpunkt Ma der Seite BC, etc.
Rechnerisch erhält man die Koordinaten des Schwerpunktes S als arithmetisches Mittel aus den Koordinaten der 3 Eckpunkte, also zum Beispiel:
xS = (xA + xB + xC) / 3 , yS = (yA + yB + yC) / 3
Sehr gut, die untenstehende Formel habe ich schon in einem Erklärvideo gesehen, allerdings ohne deine vorangehende sehr gute schriftlich/mündliche Erklärung, dafür aber (in dem Video) mit allerlei mathematischen sehr verwirrenden Fachbegriffen.
Da bleibt nur zu hoffen dass es in englischer Sprache leichter verständliche Online Tutorials gibt, die u.a. auch bildungsferne Bewohner anderer Kulturen verstehen können.
Ja, soweit bin ich zeichnerisch auch schon gekommen, aber ich möchte bei Google Maps den Mittelpunkt der Strecken Köln - Berlin, Berlin - Freiburg und Freiburg - Köln feststellen, welcher sich offensichtlich innerhalb eines unregelmäßiges Dreiecks befindet und ich möchte dabei den exakten Breiten- und Längengrad ermitteln. Wie könnte das deiner Meinung nach funktionieren?