Wie bekommt man den Wurzelexponenten bei einer Wurzel raus?
Wenn zum Beispiel der Radikant 14641 ist und der Wert der Wurzel 11, wie bekomme ich dann den Wurzelexponenten raus? Wie muss man das rechnen?
Danke im voraus :)
5 Antworten
Wenn man weiß, dass ein ganzzahliges Ergebnis heraus kommt, kann man schätzen.
11 * 11 ist dreistellig
11 * 11 * 11 ist vierstellig
11 * 11 * 11 * 11 = 11^4 ist fünfstellig
Wenn es eine ganzzahlige Lösung gibt, wird es 4 sein.
Sei folgende Gleichung gegeben:
(14641)^(1/x) = 11
gesucht sei hier x.
Zunächst beide Seiten hoch x nehmen:
--> 14641 = 11^x
Nun den Logarithmus zur Basis 11 auf beiden Seiten anwenden:
log_11(14641) = x *log_11(11) = x*1 = x
Oder in Schreibweise mit dem natürlichen Logarithmus:
ln(14641)/ln(11) = x
Beispiel: 5. Wurzel von x = x ^(1/5)
Allgemein: n-te Wurzel von x = x^(1/n)
Umgekehrt ist der Wurzelexponent der Kehrwert den "gewöhnlichen" Exponenten.
Das geht über den Logarithmus. Es ist log (9) zur Basis 3 = 2. Die Basis 3 steht als tiefgestellte Zahl rechts neben dem log. Auf Deinem Taschenrechner hast Du wahrscheinlich nur den log zur Basis 10. Den kannst du aber umrechnen. Es ist log(a) zur Basis b = (Log (a) zur Basis c)/ ( log (b) zur Basis c). Wenn Du also wissen möchtest 3 hoch wieviel ist 9: auf dem TR: log(9)/log(3)
das wäre also x.Wurzel(14641)=11
das kann man umschreiben:
14641^(1/x) = 11 |ln anwenden
ln(14641^(1/x))=ln(11) |Regel: ln(a^b)=b*ln(a)
1/x*ln(14641)=ln(11) |* x |:ln(11)
ln(14641)/ln(11)=x |Taschenrechner bemühen
x=4