Wie bekomme ich die Länge L und den Radius r heraus bei einen Rechteckigen Sportplatz mit 2 angesetzten Halbkreisen?
nur mit der Info dass der Umfang 400m beträgt
2 Antworten
Kennst du die Formel für den Umfang eines Kreises? Hier mußt du diesen Kreisumfang in Abhängigkeit zum Radius berechnen, zweimal L dazu addieren und dies gleich 400 setzen. Stelle zunächst mal diese Gleichung auf.
Wie @5432112345 bereits geschrieben hat, gibt es unendlich viele Möglichkeiten, man stellt das Ergebnis daher dann am besten in einer Funktionsgleichung dar (r in Abhängigkeit von L oder umgekehrt). Das machen wir dann nachdem du die Gleichung aufgeschrieben hast.
Nachtrag: Ich habe gerade deinen Zusatz gesehen. "Maximale Größe" ist natürlich ein wichtiges Detail, das du nicht unterschlagen darfst. Dann ist der Weg den ich beschrieben habe vollständig richtig. Du mußt nämlich die Funktionsgleichung in die Flächenformel für das Rechteck einsetzen, ableiten und ein Maximum bestimmen. Also los, wie lautet die Umfangsgleichung?
Das lässt sich ohne weitere Einschränkungen nicht lösen.
L liegt hier irgendwo zwischen 0 und 200. Oder beinhaltet L auch die Halbkreise?
Das ist aber die Aufgabe, jedoch hab ich vergessen dass das Rechteckige Feld, die Maximale Größe haben soll (je nach möglichkeit) aber ich geb dir trotzdem mal die genaue aufgabenstellung : https://prnt.sc/xsoie1
Das ist ja eine blöde Aufgabe. Also der Umfang beinhaltet die Halbkreise, aber die Fläche des Rechtecks soll maximal sein? Nagut...
Umfang Rechteck = 2a + 2b
Umfang Kreis = π * d
Da eine Seite des Rechtecks gleich dem Durchmesser des Kreises ist, können wir das verbinden. (b = d) Außerdem wird genau diese Seite beim Umfang des Gesamtobjekts nicht mitgezählt. Es ergibt sich für den Umfang also:
Ug = 2a + π * b
Die Fläche des Rechtecks ist simpel: A = a * b
Da ich die maximale Fläche in Bezug zu L (a) wissen will stelle ich die Formel entsprechend um:
Ug = 2a + π * b = 400 -> b = (400 - 2a)/π
A = a * b = a * (400 - 2a)/π
Machen wir daraus eine Funktion: f(x) = x * (400 - 2x)/π = -2/π * x² + 400/π * x
Damit wird eine umgekehrte Parabel beschrieben, die in ihrem höchsten Punkt den größten Wert für f(x) (A) auswirft. Der zugehörige x-Wert bildet L ab.
Daher können wir auf Extremwerte verzichten und brauchen lediglich den Scheitelpunkt ermitteln.
f(x) = -2/π * x² + 400/π * x
f'(x) = -4/π * x + 400/π = 0 -> x = 100
Da x unser L repräsentiert wissen wir nun, dass die Fläche des Rechtecks bei L = 100 am größten ist. Wenn man das einsetzt erhält man für f(x) = 20.000/π, also eine Fläche von rund 6.366,20. Ermittelt man nun b durch Einsetzen erhält man 200/π bzw. rund 63,66. Damit können wir noch einmal den Umfang überprüfen:
Ug = 2a + π * b = 2*100 + π*200/π = 200 + 200 = 400
Unser Umfang beträgt immernoch 400. Man könnte jetzt noch andere Prüfungen durchführen, z. B. ob x-Werte kurz über und unter 100 auch tatsächlich eine kleinere Fläche ergeben, aber das lassen ich an dieser Stelle.
400=2*pii*r+2*L aber da wären ja 2 Unbekannte, soll das jetzt durch ein Gleichunssystem?