Matheaufgabe zur Anwendung der Differenzialrechnung?
Aufgabe lautet: Ein Stadion besteht aus einem rechteckigen Spielfeld mit aufgesetzten Halbkreisen. Wie groß ist der Flächeninhalt des Spielfeldes, wenn die Innenkante der Laufbahn um das gesamte stadion 400m lang ist ? Geben sie dafür einen Term in Abhängigkeit von r an. Skizze: siehe Bild
danke im Voraus:)
2 Antworten
Hallo,
zwei Halbkreise ergeben zusammen einen Kreis.
Du hast also als Umfang des Stadion den Umfang eines Kreises plus zweimal die Gerade a. Alles zusammen ergibt 400.
Der Umfang eines Kreises in Abhängigkeit von seinem Radius berechnet sich nach der Formel U=2*pi*r.
Umfang des Stadions also 2*pi*r+2*a.
Das ergibt genau 400 m, also
2*pi*r+2*a=400
2 kannst Du ausklammern:
2*(pi*r+a)=2*200
Kürzen durch 2 ergibt pi*r+a=200
Wenn Du daraus eine Funktionsgleichung machen möchtest, die von r abhängig ist, löst Du die Gleichung nach a auf:
a=200-pi*r
Statt a kannst Du jetzt auch f(r) schreiben und bist fertig.
f(r)=200-pi*r gibt Dir nun für jedes r, für das die Gleichung ein Ergebnis größer oder gleich Null liefert, den dazugehörigen Wert für a an, so daß Du immer auf 400 m Umfang kommst.
Wenn Du statt der Formel für den Umfang die Formel für die Kreisfläche und die Rechteckfläche benutzt, bekommst Du eine Funktion, die Dir zu jedem r mit dazu passendem a die entsprechende Fläche liefert.
Herzliche Grüße,
Willy
1) Formel für Fläche A aufstellen
2) Formel für Umfang U aufstellen
3) Formel für Umfang nach a umstellen und in 1) einsetzen, ergibt A in Abhängigkeit von r.