Wertemenge potenzfunktionen?

Sind bei geraden exponenten die wertemenge IMMER positiven Zahlen?

Answer 1

[mihisu]

Nein.

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Erst einmal sind es auch nicht die „positiven Zahlen“, sondern die „nicht-negativen Zahlen“. Denn die Zahl 0 ist auch enthalten.

Beispiel:

$f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^4$

Hier ist die Wertemenge/Bildmenge die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen...

$W=\mathbb{R}_{\geq 0}=\left\lbrace \,y\in\mathbb{R}\,\middle| \,y\geq 0\,\right\rbrace$

Die Wertemenge/Bildmenge ist hier nicht die Menge der positiven reellen Zahlen...

$W\ne\mathbb{R}_{\gt 0}=\left\lbrace \,y\in\mathbb{R}\,\middle| \,y\gt 0\,\right\rbrace$

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Des Weiteren kann man auch eine Potenzfunktion...

$f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=a\cdot x^n$

... mit negativem Koeffizienten a haben.

Beispielsweise ist bei...

$f:\ \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=-3\cdot x^4$

... die Wertemenge/Bildmenge die Menge der nicht-positiven reellen Zahlen...

$W=\mathbb{R}_{\leq 0}=\left\lbrace\, y\in\mathbb{R}\,\middle|\, y\leq 0\,\right\rbrace$

Dementsprechend zeigt dieses Beispiel, dass bei Potenzfunktionen mit geradem Exponenten die Wertemenge nicht immer die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen (also die Menge, in der die positiven reellen Zahlen und die Zahl 0 enthalten sind) ist.

Answer 2

[BigMaul]

Ja, es sei Konstante ist negativ und größer als ein Summand mit Exponent

Answer 3

[ultrarunner]

Nein.

Gegenbeispiel: f(x) = –x²

Comments

[BigMaul]

ach so genau (-1)x²