Wenn f"(x)=0 und f"'(x) gleich 0, hat man keine Wendestelle oder?
3 Antworten
Das kann man so nicht sagen. Das Bedarf einer weiteren Untersuchung. Es gibt Bbeispiele, bei denen man eine Wendestelle hat. Und es gibt Beispiele, bei denen man keine Wendestelle hat.
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Beispiel 1:
Für x = 0 erhält man:
An der Stelle x = 0 sind also die von dir beschriebenen Bedingungen erfüllt.
Wegen
für alle x ist der Funktionsgraph überall linksgekrümmt. Bei x = 0 hat die Funktion keine Wendestelle, da die Linkskrümmung eine Linkskrümmung bleibt.
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Beispiel 2:
Für x = 0 erhält man:
An der Stelle x = 0 sind also die von dir beschriebenen Bedingungen erfüllt.
Für x < 0 ist
und damit der Funktionsgraph im entsprechenden Bereich rechtsgekrümmt.
Für x > 0 ist
und damit der Funktionsgraph im entsprechenden Bereich linksgekrümmt.
Bei x = 0 hat man einen Übergang von Rechtskrümmung zu Linkskrümmung. Daher ist bei x = 0 eine Wendestelle von f.
Das kommt darauf an.
Wenn die notwendige Bedingung f''(x) = 0 nicht erfüllt ist, kann kein Wendepunkt vorliegen. Dann braucht man sich mit f''' erst gar nicht zu beschäftigen.
Wenn die notwendige Bedingung f''(x) = 0 erfüllt ist, schaut man sich f'''(x) an. Wenn das ungleich null ist, ist man fertig. Es handelt sich auf jeden Fall um einen Wendepunkt, denn f'''(x) <> 0 reicht aus um nicht weiter prüfen zu müssen. Warum die Mathematiker "hinreichende " statt "ausreichende" Bedingung sagen, weiß ich nicht.
Wenn aber f''(x) = 0 und f'''(x) ebenfalls, dann muss man genauer prüfen, ob bei f'' an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Wenn in der unmittelbaren Umgebung der vermuteten Wendestelle (ich nenn sie mal x0) bei f''(x) links von x0 ein anderes Vorzeichen herauskommt, als rechts davon, dann ist es eine Wendestelle.
Beispiel:
- f(x) = x^5
- f'(x) = 5x^4
- f''(x) = 20 x^3
- f'''(x) = 60 x^2
An der Stelle x=0 sind die Ableitungen bis 3 alle =0. f''(x) ist negativ für x<0 und positiv für x>0. Daher ist dort ein Vorzeichenwechsel, also ein Wendepunkt.
Gegenbeispiel zum Selberrechnen: f(x) = x^4
Nein, die hinreichende Bedingung müsste lauten: f‘‘‘(x)[ungleich]0
Leider nein. Notwendige Voraussetzung ist immer, dass f''(x) = 0. ("f-2strich")
Aber: f'''(x) = 0 ("f-3strich") heißt nicht unbedingt, dass keine Wendestelle vorliegt.
Umgekehrt bedeutet f'''(x) <> 0, dass auf jeden Fall eine WS vorliegt.
Und wie kann ich überprüfen, ob bei f"'(x)=0 eine Wendestelle vorliegt?
Die Umgebung prüfen. Siehe die Antwort von mihisu und mir, die wir offenbar gleichzeitig geschrieben haben. Ich habe mir weniger Mühe mit Formeln und Grafik gegeben und war deshalb 3 Minuten eher fertig. Inhaltlich ist es ziemlich genau das gleiche.
Also stimmt meine Vermutung?