Maximum der Änderungsrate?
ich weiß, dass wendestellen die extrempunkte der 1. ableitung beschreiben. aber wie finde ich jetzt heraus, ob es da auch ein maximum gibt? da könnte ja auch ein tiefpunkt sein?
2 Antworten
Ganz allgemein bekommst du aus der 2. Ableitung mehrere Angaben.
Wenn f ' '(x) = 0 ist, bekommst du bekanntlich die Wendepunkte.
Wenn du den x-Wert eines Extremums in f' ' einsetzt, kommt entweder eine positive oder eine negative Zahl heraus.
f ' '(x) > 0 ==> Minimum (Tiefpunkt)
f ' '(x) < 0 ==> Maximum (Hochpunkt)
Es könnte auch mal Null sein. Wenn f ' und f ' ' beide Null sind, besteht die Chance auf einen Sattelpunkt.
Die Betrachtungen über Ableitungen lassen sich auf die nächsten Ableitungen hin fortschreiben. Aus der jeweils um 1 höheren Ableitung bekommst du den Charakter der Extremwerte heraus.
Bei einem Tiefpunkt ist die Steigung erstmal negativ, dann 0 und dann postiv. Geht man durch den Nullpunkt wird sie größer(p). Man betrachtet die Steigung der Steigung.
Es gilt : f‘‘(x) > 0 => TP
Bei einem Hochpunkt wird die Steigung positiv dann 0 und dann negativ.Geht man durch den Nullpunkt wird sie kleiner(n)
Es gilt : f‘‘(x) < 0 => HP
Bei sehr einfachen Funktion ist die zweite Ableitung nicht nötig. Das VZK hilft hier auch.
Mit f‘(x) = 0 errechnet man die möglichen Extrema und dann unterteilt man den Graphen in Verschiedene Intervalle.
Ist f‘(x) > 0 => positive Steigung
Ist f‘(x) < 0 => negative Steigung
(Voraussetzungen für Hoch oder Tiefpunkt??)
Je nach dem was man zuerst ermittelt, kann es ein Hoch oder Tiefpunkt sein.
Liegen mehrere Extrema, so ist die 2 Ableitung unverzichtbar.
Aber immerhin hilft auch hier die Monotonie