Weiß jemand wie man diese Aufgabe löst und was die Lösung ist?
Hallo ich wollte fragen ob jemand die Lösung für diese Aufgabe hat. Die Aufgabe stammt aus dem Buch Lambacher Schweizer Kursstufe Basisfach Baden Württemberg und ist auf Seite 106 die Nummer 17
3 Antworten
Aufgabe 17.
f(t) = -t^2/2 + 6t
f'(t) = -t+6
Funktionsgraph: f(t) ist blau, f'(t) ist braun.
a.)
Das Maxiumum liegt dort, wo f'(t) = 0 ist.
f'(t) = -t+6 = 0
-t+6=0
t=6
Lösung: bei 6 Sekunden ist die Geschwindigkeit maximal
b.)
f(t) = -t^2/2 + 6t = 0
Diese quadratische Gleichung nach t auflösen:
Es gibt zwei Lösungen t=0 und t=12
Wobei uns nur t=12 interessiert. D.h. nach 12s hält das Fahrzeug an.
Zur zweiten Frage von b.) siehe c.)
c.)
Der Weg ist das Integral über die Zeit der Geschwindigkeitfunktion.
s(t) = ∫f(t)dt = ∫ -t^2/2 + 6t = -t^3/6 + 3t^2
zweite Frage von b.): s(12) = -12^3/6 + 3*12^2 = 144 (d.h. 144 Meter)
d)
"Zwei Sekunden nach Erreichen der Maximalgeschwindigkeit": heisst, zwei Sekunden nach 6 Sekunden (Lösung von a.), sprich wir müssen zunächst die Funktionen f(t) und s(t) für t=8 (8 Sekunden seit dem Start) anschauen. Zudem heisst es "Die Änderung der Geschwindigkeit bliebt ab diesem Zeitpunkt konstant". Das heisst übersetzt: die Steigung für die Fortsetzung der Kurve ab Zeitpunkt t=8 bleibt konstant auf dem Wert der Steigung, welche die Funktion im Zeitpunkt t=8 hat. Und die Steigung von f(t) ist deren Ableitung f'(t). D.h. die Steigung bei t=8 entspricht f'(8). Und das wäre:
(aus Aufgabe a haben wir: ) f'(f) -t+6 => f'(8) = -8+6 = -2
Weiter bedeutet "Die Steigung bleibt konstant", dass die Geschwindigkeitsfunktion ab t=8 nicht mehr als runde Kurve, sondern als lineare (Gerade) Funktion (mit der oben ermittelten Steigung von -2) nach unten weiter verläuft:
Was wir wissen: Diese Gerade die ab t=8 linear nach unten fällt,
hat weiter einen gemeinsamen Punkt mit der Funktion f(t), nämlich
bei t=8.
Somit können wir f(8) ausrechnen. f(8) = 16.
Die Gerade hat den Funktionsprototyp y=a*t+b. a ist die bereits berechnete Steigung von -2. Somit haben wir y=-2t+b. Für t=8 kennen wir y, und somit können wir das noch unbekannte b bestimmen:
y=-2t+b
16=-2*8+b
16=-16+b
32=b
Somit lautet die Funktion der Geraden: y=-2t+32 => y=32-2t
Nun müssen wir, um die Zeit des Stillstand des Fahrzeugs zu berechnen, prüfen, für welches t diese Gleichung gleich null wird:
0=32-2t
2t=32
t=16
D.h. nach 16 Sekunden kommt das Fahrzeug zum Stillstand.
Den zurückgelegten Weg müssen wir nun wie folgt berechnen:
Den Weg von Sekunde 0 bis Sekunde 8 mit der in Aufgabe (c) berechneten Funktion s(t), und den restlichen Weg von Sekunde 8 bis Sekunde 16 separat mithilfe des Integrals über die Geradenfunktion ( y(t) = 32-2t ).
s(t) = -t^3/6 + 3t^2
s(8) = 320/3 = 106.66666 m
Für den Rest, d.h. t >=8 und t<=16:
sRest(t) = ∫ 32-2t dt = 32t-t^2
Dieses Integral berechnen wir über t=8 bis t=16, d.h.
32*16-16^2 - [32*8-8^2] = 64
D.h. 64 Meter kommen zu den 106.6666m noch dazu. Macht im Endergebnis dann 106.66666 + 64 = 170.6666m
17 a
Ableiten, null setzen
-2t + 6 = 0
t = 3
b
-1/2 t^2 + 6t = 0
t^2 - 12t + 0 = 0
t1,2 = 6 +/- (36-0)^0,5 = 0 und 12
u.s.w.
d)
Beschleunigung nach 5s
-2t + 6 = -2*5 + 6 = -4m/s^2
V nach 5s
-1/2t^2 + 6t = -12,5 + 30 = 17,5m/s
v(momentan) = a * t
v(hier) = 0 = 17,5 - 4*t
t = 4,375s
Es kommt also 4,375s später zum Stillstand.
Den Rest lasse ich dir zur Übung.
Ich würde dir zunächst empfehlen, die Funktion in ein v-t-Diagramm einzuzeichnen bzw. zu plotten. Dort kannst du schon vieles durch ablesen erkennen.
Konzentriere dich auf das, was für die Aufgabenstellung relevant ist und was sinnvoll erscheint: U.a. das Fahrzeug bewegt sich vorwärts, hat somit also eine positive Geschwindigkeit.
a) Rechnerisch kannst du die Höchstgeschwindigkeit ermitteln, indem du die erste Ableitung von V(t) zu null setzt und ihre Lösungen bestimmst (z.B. mit der P-Q-Formel).
(Denn mit der ersten Ableitung kannst du Extremstellen einer Funktion ermitteln, wie du sicherlich weißt.)
b)1. Das Fahrzeug steht still, wenn seine Geschwindigkeit, also v, gleich null ist. Im Koordinatensystem ist das dort, wo der Graph die X-Achse schneidet. Um diesen Nullpunkt rechnerisch zu ermitteln, setzt du die Ausgangsgleichung zu null und bestimmst ihre Lösungen. Dann überlegst du dir noch, wie du deine Lösung im Kontext der Fragestellung interpretierst. t1=0 ist nicht die Antwort auf die Frage in b).
b)2. Um die gefahrene Strecke zu ermitteln, musst die Funktion nach t integrieren. Die Integrationsgrenzen sind t=0 und das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe.
c) Die Funktion ist das unbestimmte Integral, dass du in b)2 bereits ermittelt hast. (Keine Ahnung, weshalb die die Aufgaben so komisch angeordnet sind.)
d) Hier musst du die Tangente am Punkt x = [Extremstelle aus a)] + 2 bestimmen.
Dazu löst du die Ausgangsgleichung für V(x) auf. Also einfach den Zahlenwert für x dort einsetzen und du erhältst eine Zahl (im Folgenden y genannt).
Das gleiche machst du auch in der Ableitung V'(x). Der daraus resultierende Zahlenwert ist die Steigung m deiner Tangente.
Die Geradengleichung y=mx + b hat nun nur noch eine Unbekannte (b), die du leicht ermitteln kannst, indem du die berechneten Werte in die Geradengleichung einsetzt und nach b umstellst.
Die Gerade der Tangente ist nun durch m und b definiert. Diese beiden Werte setzt du in die Geradengleichung ein (aber nicht y oder x). Dann kannst du die Tangente zu null setzen und somit ihren Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen.
Der Weg setzt sich zusammen aus dem Weg von 0 bis x und dem Weg von x bis Stillstand.
Der Weg bis Punkt x ist gleich wie in Aufgabe b) bzw. c). Du musst nur die obere Integrationsgrenze zu x setzen.
Der Weg von x bis Stillstand ist entweder durch Integration der Tangente zu ermitteln oder einfacher über die Gleichung für den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken.
Vmax nach 3s ist -4,5 + 18 = 13,5m/s
also legt es in 12s eine Strecke zurück von 13,5/2 * 12 = 81m