Rotationskörper und ihr Volumen?
Hallo,
ich halte demnächst ein Referat über Rotationskörper und ihr Volumen, komme bei dieser Aufgabe aber nicht weiter. Sie gehört zum Referat und ich soll sie auch vor der Klasse vortragen, aber momentan komme ich nicht auf die Lösungen.
Die Aufgabe ist aus dem "Lambacher Schweizer Kursstufe, Baden-Württemberg, Stuttgart 2017" auf S.107 Nr.15 und ist einer der schwierigeren.
Ich bitte um schnellstmögliche Hilfe.
LG
1 Antwort
Bei a) ist wohl ein Integral mit einer unbestimmten Grenze (plus-/minus-Unendlich) gemeint, deren Fläche und Rotationsvolumen man trotzdem berechnen kann.
Nimm dazu eine Funktion (besser Stammfunktion), deren Funktionswerte im Unendlichen gegen Null laufen, z. B. f(x)=1/x² und wähle dann als Grenzen z. B. 1 und plus-Unendlich. Aus dieser Funktion kannst Du zum einen den Flächeninhalt und zum anderen das Rotationsvolumen bei Rotation um die x-Achse bestimmen.
b) Ist die Fläche begrenzt (läuft im Unendlichen gegen Null), dann kann daraus auch das Rotationsvolumen bestimmt werden:
Mit dem "Rotationsintegral" rechnest Du quasi das Volumen des Rotationskörpers "scheibchenweise" aus, indem Du die unendlich kleinen Querschnitte addierst. Querschnitt=pi * r² bzw. =pi * f(x)². Läuft die Fläche zw. dem Graphen und der x-Achse gegen Null, dann "endet" auch der Querschnitt bei Null.
c) Gegenbeispiel: f(x)=1/x => F(x)=ln(|x|)+C => für x->plus-unendlich läuft auch F(x) gegen unendlich, es gibt also keine endliche Fläche ohne "feste" Grenzen. Das Rotationsvolumen kann aber dennoch bestimmt werden:
pi * Int(f(x)²)=pi * Int((1/x)²) = pi * Int(1/x²) = ...
Ich habe Aufgabe letzten Endes mit der Hilfe meines Lehrer lösen können, bin dir aber trotzdem unendlich dankbar! Habe die Aufgaben nämlich genau so gerechnet.
Leider hab ich deine Antwort viel zu spät gelesen, aber wie gesagt tausend Dank!!