Was sind Kongruenzen?
Hallo! Kann jemand mir bitte noch einmal erklären was Kongruenzen sind und wozu man diese in der Mathematik braucht. Eine kleine Zusammenfassung würde mir reichen.
Schonmal ,,Danke!“ im Voraus
2 Antworten
Ich habe mal aus deine anderen Fragen rausgelesen, dass du Kongruenzen im Kontext der Geomtrie meinst.
Da bedeutet "kongruent" im wesentlichen "deckungsgleich". Zwei Figuren sind kongruent, wenn man die eine ausschneiden und perfekt auf die andere drauflegen könnte.
Das tolle an kongruenten Figuren ist, dass alle ihre Eigenschaften gleich sind: sie haben die gleichen Seitenlängen, die gleichen Winkel, den gleichen Umfang, den gleichen Flächeninhalt, usw. Aber das ist ja offensichtlich, wenn man sie schon übereinanderlegen kann.
Was aber nicht offensichtlich ist, ist wie man bestimmt, ob zwei Figuren kongruent sind, ohne sie auszuschneiden und übereinander zu legen. Wenn es dazu nämlich einen guten Trick gäbe (ohne, dass ich beide Figuren komplett abmessen muss), dann kann ich eine Figur vor mir auf dem Tisch liegen haben, komplett ausmessen und alles über sie wissen; dann mit meinem Trick bestimmen, dass meine Figur auf dem Tisch kongruent zu einer anderen Figur ist, die ich leider nicht komplett ausmessen kann; und dann schlussfolgerungen über diese andere Figur ziehen.
Diese "Tricks" sind die Kongruenzsätze. Zum Beispiel sagt der "sss-Kongruenzsatz" aus, dass es reicht, dass die 3 Seitenlängen der Dreiecke gleich sind, damit sie kongruent sind. Das bedeutet, dass wenn ich 2 Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen habe, dann sind die Innenwinkel, die Höhen, die Seitenhalbierenden, die Winkelhalbierenden, die Umkreise, die Innenkreise dieser beiden Dreiecke, usw alle gleichgroß.
Wenn du also ein Dreieck vorgegeben hast, von dem du die Seitenlängen 5cm, 3cm und 7cm kennst, und den Flächeninhalt A auch kennst; und ich sage "ich habe ein Dreieck hinterm Rücken, das die Seitenlängen 3cm, 7cm und 5cm hat", dann weißt du ganz genau, dass mein Dreieck genauso aussieht wie deins und also genau den gleichen Flächeninhalt hat.
Die Kongruenzsätze sind also wichtig, damit die bestimmen kannst, dass irgendwelche Winkel oder irgendwelche Seiten über die du eigentlich nichts weißt gleichgroß sind, indem du zeigst, dass die Dreiecke von denen sie ein Teil sind gleich sind.
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Jetzt ist die Frage: woher wissen wir denn, dass es nicht 2 verschiedene Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen geben kann?
Dazu nehmen wir uns ein Dreieck ABC und versuchen wir einfach das angebliche andere Dreieck mit den gleichen Seiten, wie unsers, zu malen. Das andere Dreieck muss erstmal eine Seite (zB AB) mit unserem Dreieck gemeinsam haben (bis auf rumschieben), die eine Seite ist ja gleichlang. Dann bleibt nur noch die Frage, wo wir den dritten Punkt C' hinsetzen können. Da die beiden anderen Seitenlängen AC und BC auch genauso sein sollen, wissen wir genau, dass C' genau den Abstand |AC| zu A und den Abstand |BC| zu B haben muss.
Wenn wir uns jetzt alle Punkte, mit Abstand |AC| zu A aufmalen, kriegen wir den Kreis mit Mittelpunkt A, der durch C geht. Genauso, wenn wir alle Punkte mit Abstand |BC| zu B aufmalen, kriegen wir den Kreis mit Mittelpunkt B, der durch C geht. Diese beiden Kreise schneiden sich aber nur an zwei Punkten und C' muss (damit die Seitenlängen gleich sind) auf beiden diesen Kreisen liegen. Das heißt C' ist ebtweder C, in welchem Fall wir einfach nur das gleiche Dreieck nochmal konstruirt haben, oder C' ist der andere Schnittpunkt der Kreise. Wenn man sich diesen anderen Schnittpunkt S mal genauer anschaut, sieht man, dass das Dreieck ABD einfach das Dreieck ABC, an AB gespiegelt ist. Also kommen wir wieder auf das gleiche Dreieck!
Also können wir schlussfolgern, dass es garkein anderes Dreieck gibt.
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Es gibt natürlich noch andere Kongruenzsätze, zB sws: wenn zwei Seiten und der dazwischen eingeschlossene Winkel je gleichgroß sind, dann sind die beiden Dreiecke auch kongruent. Insbesondere ist dann auch ihre dritte Seite gleichlang. Wie man bei den anderen Kongruenzsätzen darauf kommt, dass alle Dreiecke mit solchen Eigenschaften gleich sind, kannst du dir ja mal versuchen selber zu überlegen (oder nachschlagen).
