Tiefpunkt Sattelpunkt?
Wie kann man einen Tiefpunkt von einem Sattelpunkt unterscheiden (durch Ableitungen)? Gibt es dafür voraussetzungen? Grundsätzlich könnte man ja überlegen zu sagen, dass sich die "Steigungsrichtung" nicht ändert.
3 Antworten
Nur Sattelpunkte haben eine waagrechte Tangente
Nur Sattelpunkte haben eine waagrechte Tangente
Hoch- und Tiefpunkte auch. 😉
Beim Tiefpunkt ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung größer Null.
Beim Sattelpunkt sind erste und zweite Ableitung gleich Null. Es ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Ergänzung:
Für die hinreichende Bedingung muss weiter abgeleitet werden, bis die erste von Null verschiedene Ableitung auftaucht.
Ist diese gerade (4, 6, … Ableitung) liegt ein Extremum vor.
Ist diese ungerade (3, 5, … Ableitung), liegt ein Sattelpunkt vor.
Die beiden Antworten sind halbwegs richtig, aber nicht vollständig.
Als Beispiele nehme ich die Funktionen
f(x) = x² ... x⁸, also 7 verschiedene
Die mit geraden Exponenten haben in x = 0 einen Tiefpunkt, die mit ungeraden Exponenten einen Sattelpunkt. Das geht auch immer so weiter mit x⁹, x¹⁰, ... .
Nun musst du für die Stelle x immer wieder ableiten, bis du eine Ableitung hast, deren Funktionswert ≠ 0 ist.
Dann musst du sehen, ob du i-te Ableitung bei einem geraden oder ungeraden i erstmalig ≠0 geworden ist.
Ich schreibe mal nacheinander = und ≠ für = 0 und ≠ 0 hin bei der 1., 2., 3., .... Ableitung
x²: = ≠ Extremum, hier Tiefpunkt
x³: = = ≠ Sattelpunkt
x⁴: = = = ≠ Extremum, hier Tiefpunkt
x⁵: = = = = ≠ Sattelpunkt
Das geht abwechselnd so weiter.
Extremum ist Tiefpunkt, wenn das ≠ einen Funktionswert > 0 hat, bei < 0 ein Hochpunkt
Und bei f(x) = x⁴ finde ich trotz der Voraussetzung keinen Sattelpunkt.
Mir ist klar, dass du das weißt.