Was ist hier der Berührpunkt?
Ich habe die Funktion
f(x)=(5/6)x^3-(10/3)x^2+3x
und die Tangente
y=-(1/3)x
Nun soll ich den Berührpunkt der beiden bestimmen, allerdings habe ich da meine Probleme. Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet!
5 Antworten
Berührpunkt heißt, beide Funktionen haben (mindestens) einen gemeinsamen Punkt, in dem auch die Steigung gleich ist (darüber hinaus kann es weitere gemeinsame Punkte geben, in denen die Steigung nicht gleich ist, nämlich bei den "gewöhnlichen" Schnittpunkten)
D. h. Du musst beide Funktionen gleichsetzen, die Schnitt-/Berührpunkte ermitteln und noch prüfen, in welchen dieser Punkte die Steigung von f ebenfalls -1/3 ist! Ein gleicher Punkt beider Funktionen liegt z. B. bei (0|0), aber man kann schon im Kopf ermitteln, dass dort die Steigung von f gleich +3 ist, also wird hier nicht berührt, sondern geschnitten...
Im Berührpunkt ist der Funktionswert gleich, also gilt
f(x) = t(x), bzw. f(x)-t(x) = 0
Dann wirst du feststellen, dass du das x ausklammern kannst und nur noch die Nullstellen einer quadratischen Funktion mittels pq-Formel errechnen brauchst.
Wenn es wirklich eine Tangente ist, muss die Diskriminante (der Wert unter der Wurzel) in der pq-Formel zu 0 werden, denn es darf nur eine Lösung (den Berührpunkt) geben oder der Berührpunkt liegt bei x=0, welches du ausgeklammert hast.
Die Steigung ist auch gleich. Das stimmt. Das könnte man als Kriterium verwenden, um einen Schnittpunkt auszuschließen.
Für die Steigung bräuchte man jedoch die Ableitung. Ich weiß nicht, ob die das schon hatten.
Liegt bei der pq-Formel eine doppelte Nullstelle vor, ist die Lösung eindeutig, genauso wie wenn nicht. Das liegt daran, dass eine Tangente eine Funktion 3. Grades nicht zweimal berühren kann.
eben , und hier ist der pot. Berührpunkt bei x = 2 , f'(2) = -1/3 , passt also............ ich war eben noch auf dem Dampfer x = 2 in ! die geradenglg einzusetzen, um zu sagen : -1/3 ungleich -1/3 * 2.................aber eben Dampfer falsch.
ich hab herausgefunden, dass der Berührpunkt ein Sattelpunkt ist und jetzt soll ich zeigen, dass die Tangente den Graphen von f in O(0|0) orthogonal schneidet. Das habe ich aber mit meinem Sattelpunkt doch eigentlich schon gemacht oder?
Die Funktion hat keinen Sattelpunkt,
und y = -(1/3) x ist keine Tangente.
y=-(1/3)x ist sehr wohl eine Tangente, und zwar an P(2 | -2/3). Es gibt zwar noch einen gemeinsamen Punkt bei O(0 | 0), aber die allgemein gängige Definition einer Tangente im R² schließt weitere Schnittpunkte nicht aus, sondern fordert nur die selben Funktions- und Steigungswerte am Berührpunkt. Siehe auch die Grafik rechts im Link.
Welche konkreten Probleme hast Du denn?
Du musst beide Terme gleichsetzen und nach x auflösen, bzw. das x in f(x) - (-x/3) = 0 errechnen.
Gleichsetzen und x ausklammern.
Die übriggebliebene quadratische Gleichung mit p,q ausrechnen.
nur der fkt-wert ? aber nicht die steigung ?