Was ist ein Funktional?
Ich muss für meine Lineare-Algebra-Prüfung wissen, was ein Funktional und Dualraum ist.
Ich hätte es folgend erklärt:
Der Dualraum V* ist die Menge aller linearen Abbildungen von V → K (in den zugrundeliegenden Körper).
Die Elemente aus V* nennt man Funktional. D.h. Funktionale sind Operatoren die von einem Vektorraum V in den Körper K abbilden.
Habe ich das richtig verstanden?
Vielleicht könnt ihr mir auch noch dabei helfen:was sagt der Spektralsatz aus? Was ich herausgefunden habe besteht der Spektralsatz aus mehreren Aussagen?
1 Antwort
Hallo Raph101,
im Wesentlichen hast Du Recht. Ich würde allerdings mit der Definition des Funktionals anfangen. Das ist eine Abbildung f: V→K, wobei V ein Vektorraum über dem Körper K ist. V ist nicht notwendiger- aber üblicherweise ein Funktionenraum.
Lineare Funktionale f, also solche mit den Eigenschaften
(1) f(y₁ + y₂) = f(y₁) + f(y₂), y₁, y₂ ∈ V
(2) f(λ·y) = λ·f(y), y ∈ V, λ ∈ K
bilden selbst einen Vektorraum V*, den Dualraum von V.
Vielleicht könnt ihr mir auch noch dabei helfen:was sagt der Spektralsatz aus?
Dabei geht es um Endomorphismen g: V →V, nicht um Funktionale. Auch g ist allerdings linear (g ist ja insbesondere ein Homomorphismus), und es gibt y∈V mit
(3) g(y) = α·y,
wobei α zu einem Erweiterungskörper von K gehört und Eigenwert von g heißt. Dann heißt y Eigenvektor (ggf. Eigenfunktion) von g zum Eigenwert α. Wenn V endlichdimensional ist, sagt der Spektralsatz aus, dass g dann eine Orthonormalbasis von Eigenvektoren hat und damit diagonalisierbar ist, wenn die Eigenwerte alle aus K sind. Wenn K=ℂ ist, funktioniert das immer.
Es gibt unterschiedliche Versionen des Spektralsatzes für Endomorphismen in endlich- und unendlichdimensionale Vektorräumen. Für die Quantenmechanik ist vor allem relevant, dass ein Operator (der führt quasi die Abbildung aus) dann nur reelle Eigenwerte hat, wenn er selbstadjungiert, also HERMITEsch ist.
Bei Matrizen heißt das, wenn man sie transponiert, kommt das komplex Konjugierte heraus.
Leider sind die Wikipedia-Artikel zu dem Thema ziemlich abstrakt formuliert. Ich trage mich mit dem Gedanken, da mal etwas „Fleisch“ hinzuzufügen.
Ok das mit endomorphismen etc. muss ich mir mal anschauen. Ich habe bisher nur gelernt was isomorphismen sind!😅
Danke !!