Hauptraum gleich Eigenraum?
Ist ein Hauptraum in der linearen Algebra das gleiche wie der von den Eigenvektoren aufgespannte Vektorraum?
1 Antwort
Der Eigenraum ist immer Teilraum des zugehörigen Hauptraumes. Dabei entspricht die Dimension des Eigenraumes gerade der geometrischen Vielfachheit des dazugehörigen Eigenwertes. Die Dimension des Hauptraums ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts.
Es gilt immer:
geometrische Vielfachheit <= algebraische Vielfachheit
Gilt nun Gleichheit, dann ist der Eigenraum ein Untervektorraum des Hauptraumes mit gleicher Dimension und muss daher mit dem Hauptraum übereinstimmen.
Gilt jedoch geo. Vielf. < alg. Vielf. , dann ist der Eigenraum echter Teileraum des Hauptraums und die beiden stimmen nicht überein.
TL;DR Nein , der Hauptraum entspricht nicht immer dem Eigenraum, enthält diesem aber immer als Teilraum.