Was ist die erste Ableitung des Weges nach der Zeit?
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6 Antworten
Die erste Ableitung wäre ds/dt. Um sich das besser vorstellen zu können, kann man auch vom Differential auf die Differenz gehen:
1. Ableitung = Δs / Δt ...und da weiß man, dass das die Geschwindigkeit v ist.
2. Ableitung wäre dann dv/dt oder als Differenz: Δv / Δt ..und da wissen wir, das ist die Beschleunigung a
3. Ableitung wäre dann da/dt oder als Differenz: Δa / Δt ..und da wissen wir, eine plötzlich einsetzende Beschleunigung ist der Ruck.
Der Betrag der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit selbst, die Vektorgröße |v› (auch v⃑), ist die Zeitableitung der Position |r› bzw. r⃑ nach der Zeit, ausgeschrieben
|v› = d|r›/dt = |r›̇.
Die zwischen zwei Zeitpunkten t₀ und t₁ zurückgelegte Wegstrecke ergibt sich durch Integration
s = ∫[t₀]^{t₁} dt ||v›| = ∫[t₀]^{t₁} dt√{‹v|v›}
(ich verwende hier die "schulzistische" Konvention, das 'dt' direkt hinter das Integralzeichen zu setzen, sodass Letzteres mit Ersterem als Operator aufzufassen ist).
Is bestimmt alles richtig. Aber wenn ich so gut in Mathematik wäre, dass ich das verstehe, dann würde ich so eine Frage nicht stellen.
Ich habe vielleicht schon zu mathematisch formuliert. Entscheidend ist, dass Geschwindigkeit eine Größe mit Richtung ist, man nennt das einen Vektor.
Was wir landläufig "Geschwindigkeit" nennen und was tatsächlich die erste Zeitableitung des zurückgelegten Weges ist, das ist eigentlich nur deren Betrag.
Im Englischen wird da unterschieden, denn der Betrag der Geschwindigkeit heißt 'speed', die Geschwindigkeit im vollen Sinne 'velocity' (weswegen das Formelzeichen für Geschwindigkeit auch 'v⃑' ist).
Die wiederum ist die erste Zeitableitung der Position, die man im Raum mit max. 3 Zahlen angeben kann, den Koordinaten.
Die Länge einer getaden Strecke kannst Du mit dem Satz des Pythagoras berechnen: Hast Du zwei Punkte (hier in einer Ebene)
(x₁|y₁), (x₂|y₂),
so ist deren Abstand in gerader Linie
s = √{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)}.
Wegstrecken sind aber oft krumm, und da musst Du sie gedanklich in so kleine Schnipsel schneiden, dass sie als gerade angesehen werden können. Länge ds berechnen und aufaddieren, das ist der Ursprung der Integration. Manche Kurven machen es uns leichter als andere, weil sie sich als Ableitung einer anderen Funktion darstellen lassen, der sogenannten Stammfunktion. Die hilft uns beim Integrieren. So kann man manche krummen Wege, aber auch Flächen und Volumina runder Körper exakt berechnen.
S=a*1/2t^2 + Vo*t abgeleitet nach t ist V=a*t + Vo, die erste Ableitung ist die geschwindigkeit, logischerweise, da sie in einem s/t diagramm der steigung entspricht und die ableitung dir diese liefert! Gib den stern jemand anders! Lg
v in diesem Sinne ist freilich das, was man auf Englisch 'speed' nennt, der Betrag der Geschwindigkeit. Bei geradliniger Bewegung kann man das identifizieren, aber es ist weniger allgemein.
1. Ableitung: Geschwindigkeit
2. Ableitung: Beschleunigung
Die 3. Ableitung wäre die Beschleunigungszunahme pro Zeiteinheit.
Das nennt man "Ruck", und es ist genau das, was es auch aussagt.
Die Geschwindigkeit
dritte Ableitung?