Was ist die 3. Wurzel aus i in der form a+b*i??
4 Antworten
Der Hauptwert der 3-ten Wurzel aus i ist
Es gibt aber noch zwei weitere 3-te Wurzeln aus i in den komplexen Zahlen, nämlich
und
Ich habe dir im folgenden PDF-Dokument mögliche Rechenwege aufgeschrieben:
https://www.dropbox.com/s/o6l1vsn235zawio/3teWurzeli.pdf?dl=0
Ja, dein Lösungsweg in deiner Antwort passt.
Das mit dem Hauptwert ist so ähnlich, wie dass man beispielsweise in den reellen Zahlen mit der Quadratwurzel aus 4 die positive Zahl 2 meint, obwohl es auch die negative Zahl -2 gibt, welche auch quadriert 4 gibt. So wie man also in den reellen Zahlen die nicht-negative Lösung w der Gleichung w² = a als die Quadratwurzel aus a bezeichnet, so kann man in den komplexen Zahlen einen so genannten Hauptwert bestimmen, den man meint, wenn nichts anderes dazu gesagt wird.
Jede komplexe Zahl z lässt sich in Polarform |z| * exp(i*arg(z)) umschreiben. Um eine Eindeutigkeit (zumindest wenn z ungleich 0 ist) der Polarform zu gewährleisten, fordert man dabei üblicherweise, dass der Winkel arg(z) größer als -pi und kleiner oder gleich pi sein soll. Mit dem Hauptwert der n-ten Wurzel von z bezeichnet man dann die Zahl |z|^(1/n) * exp(i *arg(z)/n).
(a^2 + b^2)^(1/6) cos(1/3 arg(a + i b)) + i * (a^2 + b^2)^(1/6) sin(1/3 arg(a + i b))
das kannst du nicht als reele Zahl angeben, denn i^2=-1 welche reele Zahl soll dann also i sein?
Auch als Imaginärteil b kannst du das nicht angeben, weil es eine reele Zahl sein muss, die mit i multipliziert wird
Lösung im Bild
Danke für ihre Antwort, könnten sie villeicht noch den Rechenweg erläutern und alles ein bischen ausführlicher erklären ?