Wie lauten die Lösungen von der komplexen Gleichung z^3=27?
Bzw wie berechnet man diese? Komme nur auf eine Lösung mittels dritter wurzel. Ergebnis soll in der form a+ib angegeben werden.
6 Antworten
Dazu multiplizierst du den Betrag der Wurzel (3) mit den dritten Einheitswurzeln.
Das sind in Polardarstellung die Vektoren, die vom Ursprung auf den Einheitskreis zeigen und, wenn man den Winkel zur positiven reellen Achse verdreifacht, auf der 1 landen.
Damit suchst du drei verschiedene Winkel zwischen 0 und 2π (360°), deren Winkel verdreifacht ein Vielfaches von 2π (360°) ergibt.
Das sind 0, 2π/3, 4π/3 (0°, 120°, 240°).
Um aus einem Winkel φ eine komplexe Zahl zu machen, berechnest du exp(i φ), bzw. in Rechteckkoordinaten cos(φ) + i sin(φ).
Für die drei gegebenen Winkel sind das dann
cos(0) + i sin(0) = 1
cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + 1/2 √3
cos(4π/3) + i sin(4π/3) = -1/2 - 1/2 √3
Na ja du hast schon einen Super Tipp bekommen: a+b*i so sieht jede x-Beliebige komplexe Zahl aus.
->
du kannst auch schreiben a+b*i=z dabei ist a und b Element der Reellen Zahlen.
Jetzt berechnest du z^3
z^3=a^3+3*a^2*b*i+3*a*b^2*i^2+b^3*i^3
= a^3+3*a^2*b*i-3*a*b^2-b^3*i
Du weißt, dass z^3=27 ist.
Kannst also schreiben:
a^3+3*a^2*b*i-3*a*b^2-b^3*i=27
Jetzt siehst du, dass auf der rechten Seite nichts mit i vorkommt
->
Alle Terme auf der linken Seite, die ein i haben, müssen sich zu Null addieren
->
1)3*a^2*b*i-b^3*i=0
und
2)a^3-3*a*b^2=27
3*a^2*b*i-b^3*i=0 |/i
<=>3*a^2*b-b^3=0
=b*(3*a^2-b^2)=0
Erste Lösung ist b=0 und a muss demnach die dritte Wurzel aus 27 Sein.
Es gilt jedoch auch:
3*a^2-b^2=0
Das ist dann erfüllt, wenn b=sqrt(3)*a. Setzt man das in (2) ein
->
a^3-3*a*3*a^2=27
=a^3-9a^3=27
=-8a^3=27
<=>a^3=-27/8
<=>a=(-27/8)^(1/3) = -3/2
->
a= -3/2
->
b= sqrt(3)*a = sqrt(3)*(-3/2) = -sqrt(27/4)
->
z = -3/2-sqrt(27/4)*i
Mein schlauer Taschenrechner sagt: {3; -3/2 - 3/2i√3; -3/2 + 3/2i√3}
Das klingt ja exotisch. Dürfen leider keine Rechner verwenden. Sieht mir aber danach aus als könne man das gut mit der Polardarstellung berechnen.
deine lösung mittels dritter wurzel liefert einen genauen wert für z.
Wie könnte man denn die geforderten Lösungen z1,z2,z3 in der o.g. Form aufschreiben?
Du musst 27 als komplexe Zahl in Polar- oder Exponentialform schreiben und dann einfach nach der Regel die komplexe Wurzel ziehen