Was ist der Unterschied zwischen lokale und globale Extrempunkte?
3 Antworten
Ein globales Maximum liegt dann vor, wenn es an keiner Stelle des gesamten Definitionsbereichs einen größeren Funktionswert gibt.
Ein globales Minimum liegt dann vor, wenn es an keiner Stelle des gesamten Definitionsbereichs einen kleineren Funktionswert gibt.
Ein lokales Maximum liegt dann vor, wenn es eine Umgebung um die betrachtete Stelle gibt, so dass die Funktion auf dieser Umgebung keinen größeren Funktionswert hat.
Ein lokales Minimum liegt dann vor, wenn es eine Umgebung um die betrachtete Stelle gibt, so dass die Funktion auf dieser Umgebung keinen kleineren Funktionswert hat.
Der Unterschied ist also, ob es ingesamt auf dem gesamten Definitionsbereich keinen größeren/kleineren Funktionswert gibt, oder ob dies nur in einer Umgebung um die betrachtete Stelle der Fall ist. (Übrigens: Jeder globale Extrempunkt ist auch ein lokaler Extrempunkt. Umgekehrt ist jedoch nicht jeder lokale Extrempunkt ein globaler Extrempunkt.)
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Beispiel anhand einer Skizze eines Funktionsgraphen:
Die Punkte A und D sind globale Extrempunkte. Bei A ist ein globales Minimum. Bei D ist ein globales Maximum.
Die Punkte A und D sind auch lokale Extrempunkte. Die Punkte B und C sind lokale Extrempunkte, aber keine globalen Extrempunkte.
Bei B liegt ein lokales Maximum vor, da es beispielsweise im grün markierten Bereich keinen größeren Funktionswert gibt. Bei B liegt jedoch kein globales Maximum vor, da man beim Punkt D größere Funktionswerte findet.
Bei C liegt ein lokales Minimum vor, da es beispielsweise im grün markierten Bereich keinen kleineren Funktionswert gibt. Bei C liegt jedoch kein globales Minimum vor, da man beim Punkt A größere Funktionswerte findet.
Eine zusammengesetzte Funktion hat mehrere Extrema. Lokal sind die Extrempunkte betrachtet in einem bestimmten Intervall. Global sind die Extrempunkte also gl. Tief- und Hochpunkt, der auf die ganze Funktion betrachtet der größte Extrempunkt ist.
Also hier ist A z.B. ein lokales Maximum (gilt nur auf einem begrenzten Intervall, andere Werte der Funktion sind aber noch größer), während B ein globales Minimum ist (gilt auf dem gesamten Definitionsbereich, weil es nirgends einen kleineren Wert gibt):
