Was ist der Unterschied zwischen größtem und maximalem Element in der Mathematik?
Bitte in verständlicher Erklärung. Werd aus den Googleerklärungen leider nicht schlauer.
2 Antworten
Um von einem maximalen bzw. einem größten Element sprechen zu können, bedarf es zunächst mal einer gegebenen Ordnungsrelation auf einer Menge.
Vielleicht hilft ein kleines Beispiel?
Betrachte mal die Menge der echten Teiler der Zahl 30 (das sind die natürlichen Zeilen, die 30 teilen, aber ungleich 30 sind): {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15}.
Die Relation "teilt" ist eine Ordnungsrelation auf dieser Menge. Welches sind die maximalen Elemente dieser Menge bezüglich "teilt", kurz: die "maximalen echten Teiler" von 30? Das sind die, die kein anderes Element der Menge teilen. Natürlich teilt 1 alle Elemente, 2 teilt 6 und 10, 3 teilt 6 und 15, 5 teilt 15, Aber die Zahlen 6, 10 und 15 teilen jeweils kein anderes Element der Menge. Diese sind daher die maximalen Elemente bezüglich der Relation "teilt".
Nun ist aber auch "kleiner-oder-gleich" (<=) eine Ordnungsrelation auf der Menge. Bezüglich <= sind maximal die Elemente, die zu keinem anderen Element der Menge in der Relation <= stehen. So wie die Elemente in der obigen Angabe der Menge aufgereiht sind, könnte man aber statt der Kommata stets das Zeichen < einsetzen und hätte eine wahre Aussagenkette: 1 < 2 < 3 < 5 < 6 < 10 < 15. Nur die 15 ist nicht kleiner als eine andere Zahl der Menge. Es ist daher das einzige maximale Element der Menge bezüglich der Relation <=.
Unter einem größten Element einer geordneten Menge versteht man dagegen ein Element, zu dem jedes Element der Menge (linksseitig) in der Relation steht. Bezüglich des obigen Beispiels mit der Relation <= ist offenbar 15 ein solches Element, aber auch das einzige. Das ist aber kein Wunder, denn wenn es ein größtes Element überhaupt gibt, so ist es stets eindeutig bestimmt: Wären zwei Elemente x, y beide größte Elemente, so müsste ja sowohl x zu y als auch y zu x in Relation stehen, was wegen der Antisymmetrie der Ordnungsrelation x=y impliziert.
Aus der Definition folgt (ähnlich) sogar genauer, dass ein größtes Element stets auch ein maximales Element ist, und zwar sogar das einzige maximale. Nur ist keineswegs gesagt, dass es ein größtes Element überhaupt gibt. Bei nichtleeren endlichen Mengen wie in dem obigen Beispiel muss es jedenfalls mindestens ein maximales geben, aber auch nicht unbedingt ein größtes. Dazu sieh dir noch einmal das obige Beispiel an, aber wie anfangs mit der Relation "teilt":
Ein größtes Element bezüglich der Relation "teilt" in der angegebenen Menge müsste eine Zahl der Menge sein, die von jeder anderen geteilt wird: So eine gibt es offensichtlich nicht.
Das hätte man auch schon ohne neues Hinsehen wissen können: Denn wir haben ja drei maximale Elemente bezüglich "teilt" gefunden. Gäbe es aber ein größtes, so wäre dieses auch das einzige maximale Element, und es könnte dann nicht drei maximale geben.
Um zu sehen, ob du die Unterschiede verstanden hast, kannst du ja mal ebenso die Menge der echten Teiler von 84 und die von 64 untersuchen und zu beiden Relationen ("teilt" und <=) die maximalen und die größten Elemente (sofern vorhanden) bestimmen.
Man lernt am besten aus Beispielen, in denen man zu Hause ist, und nicht in abstraktem Gehumse. Umgekehrt verliert Letzteres seinen Schrecken, wenn man aus Beispielen ein Verhältnis dazu gewonnen hat und sich nur noch von der Konkretheit lösen muss!
Herzlichen Dank für diese tolle Erklärung und den guten Tipp am Ende :)
Gute Frage - ist mir gar nicht aufgefallen; hab nur den Text untendrunter gelesen…🤣
... dann bin ich ja erstmal beruhigt, wenn es mir komisch vorgekommen ist ;-)
Das ist natürlich Blödsinn, was da steht - muss mir später mal überlegen, wie man das korrekt formuliert; bin aber gerade noch unterwegs… :-)
... heißt was?