Was ist der Unterschied zwischen Folgen und Mengen?

Sind Folgen einfach bestimmte Mengen, die nicht mehr durch Mengen ausgedrückt werden können?

.

Zb.:

Menge: {0,1,2,3,4....]

Folge: <3,4,5,.....>

.

Prinzipiell könnte man ja die Folge auch als Menge darstellen:

Menge: Z\0,1,2

.

Allerdings kann man eine Folge wie:

Folge: <1,23,45,67,...> nicht mehr als Menge darstellen. Oder zumindest wäre das sehr aufwändig.

Sind dafür also Folgen da?

.

Und wofür sind dann Reihen gedacht?



Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

eine Folge besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind.

Die Menge besteht aus Elementen, die ungeordnet sind. Außerdem ist es unerheblich, wie oft jedes Element in einer Menge vorhanden ist.

Die Menge {3;3;5;1;5;2} ist gleich der Menge {1;2;3;5}

Bei einer Folge ist weder die Reihenfolge noch die Anzahl der einzelnen unterschiedlichen Elemente vernachlässigbar.

Eine Reihe bekommst Du, wenn Du die einzelnen Glieder einer Folge aufsummierst.

Sie wird auch oft mit Hilfe eines Summenzeichens dargestellt.

Für manche Reihen gibt es Summenformeln, mit denen Du die Summe vom 1. bis zum n. Glied direkt ermitteln kannst, ohne alle Folgenglieder addieren zu müssen.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[PWolff]

Eine Reihe ist ihrerseits eine Folge, die durch eine bestimmte Vorschrift (Summation der ersten <Index> Elemente) aus einer anderen Folge gebildet wird.

Analog zur Bildung einer Integralfunktion aus einer Funktion.

Answer 2

[mihisu]

Bei folgen haben die Elemente eine Reihenfolge. Die Elemente werden im Grunde durchnummeriert.

Im Gegensatz dazu haben die Elemente in einer Menge keine Reihenfolge und es ist auch egal wie oft ein Element auftritt.

Beispielsweise sind die Mengen

{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...},

{1, 0, 2, 3, 4, 5, ...},

{0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

paarweise gleich.

Die Folgen

(0, 1, 2, 3, 4, 5, ...),

(1, 0, 2, 3, 4, 5, ...),

(0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)

sind hingegegen paarweise verschieden.

Formal sind (unendliche) Folgen als Abbildungen von den natürlichen Zahlen in irgendeine Menge definiert. Der Graph dieser Abbildung ist dann eine Menge mit der man die Folge beschreiben kann. So könnte man beispielsweise eine Folge

(1, 23, 45, 67, ...)

in den ganzen Zahlen durch die Menge

{(1, 1), (2, 23), (3, 45), (4, 67), ...}

beschreiben. Die Menge {(1, 1), (2, 23), (3, 45), (4, 67), ...} beschreibt dann zwar in gewissem Sinne die Folge, ist aber genau genommen nicht gleich der Folge, sondern gleich dem Graphen der Folge.

========

Reihen sind im Grunde spezielle Folgen, bei denen die Folgenglieder gleich Partialsummen der Glieder einer anderen Folge sind.

Reihen betrachtet man deshalb, weil man gerne Summen mit (abzählbar) unendlich vielen Summanden beschreiben möchte.